mardi 14 mai 2019

L'argumentation mathématique, précurseur problématique de la démonstration

Le colloque CORFEM 2019 a choisi pour l'un de ses thèmes : Raisonner, prouver, démontrer ... en classe et en formation.

Je contribuerai à la réflexion commune en interrogeant les termes argumenter, prouver, démontrer tels qu'ils sont utilisés par les programmes des cycles 2 à 4, et par les documents d'accompagnement. Je préciserai leurs relations et celles qu'ils entretiennent avec "raisonner" à la lumière des travaux de recherche sur l'apprentissage de la preuve en mathématiques. La seconde partie fera le point, prenant en compte les contributions internationales, sur les problèmes posés par le passage des preuves empiriques aux preuves intellectuelles ne mathématique, en mettant l'accent sur le cas de l'exemple générique. L'exposé conclura sur la création et la gestion des interactions sociales qui contextualisent l'argumentation et constituent le principal défi pour l'enseignant ; un défi auquel doit préparer la formation.


XXVIe Colloque CORFEM
Mardi 11 et mercredi 12 Juin 2019
Université de Strasbourg

L'argumentation mathématique, un concept nécessaire

L'argumentation mathématique, un concept nécessaire pour penser l’apprentissage de la démonstration

Les sciences du langage, notamment l’analyse du discours et la logique naturelle, ont eu une influence prépondérante sur les premières recherches sur l’apprentissage de la démonstration qui ont insisté sur les oppositions entre argumentation et démonstration. Ces oppositions sont mises en avant comme l’une des principales difficultés—avec le développement cognitif—de la réalisation du projet d’enseignement. Au cours des deux dernières décades, les travaux se sont multipliés pour confirmer cette difficulté mais en la nuançant soit en montrant la possibilité d’une continuité, notamment dans le cours de la résolution d’un problème, soit en soutenant la possibilité d’une légitimité mathématique de l’argumentation. Ainsi l’argumentation se constitue-t-elle en obstacle épistémologique à l’apprentissage de la démonstration, au sens où elle est à la fois ce contre quoi il se construit et ce avec quoi il avance. De plus, l’attention portée à l’argumentation dans la résolution de problèmes a conduit à dépasser les approches purement heuristiques et mis en évidence le lien étroit entre le développement de la rationalité et celui des connaissances mathématiques depuis les niveaux les plus élémentaires. L’exposé portera essentiellement sur ces évolutions de la recherche, et les propositions de concepts tels qu’argumentation heuristique (Raymond Duval) ou explication ontique (Gila Hanna). Il conclura sur le besoin de forger le concept d’argumentation mathématique pour penser l’apprentissage de la démonstration.




7e Journées Épistémologie Montpellier
« L’argumentation : une pratique multiforme ? »
Mercredi 22 et jeudi 23 mai 2019
salle SC-10.01 à la Faculté des Sciences

Séminaires DEMa, Montpellier, quelques question sur le modèle cKȼ

Une visite à l'équipe montpelliéraine de Didactique et Épistémologie des Mathématiques (DEMa) sera l'occasion, le 21 mai, d'un séminaire sur le modèle cKȼ pour répondre à quelques questions notamment sur les structures de contrôles, la notion de µ-objet et celle de théorème au sens de Mariotti.
L'exposé comprendra trois parties : (1) la problématique du modèle cKȼ dans le cadre de la théorie des situations didactiques et de la théorie des champs conceptuels, (2) la caractérisation des conception en insistant sur la notion de contrôle et la notion de µ-objet, (3) son potentiel pour analyser la complexité épistémique des mathématiques en revenant notamment sur la notion d’unité cognitive  dans la résolution de problème proposée par Garuti, Boero et Lemut, et la caractérisation de théorème par Mariotti.


dimanche 3 mars 2019

En hommage à Rosamund Sutherland, chercheuse et citoyenne

Lire [ici] le texte collectif préparé par Andrew Pollard, université de Bristol  -- an other blog post in English [here].
 
On se souvient de la publication en anglais, en 1997, d’un ouvrage qui rassemblait les textes fondateurs de la Théorie des Situations Didactiques. Ce fut l’une des contributions importantes au rayonnement de la recherche en didactique des mathématiques née en France à la fin des années 70. Rosamund Sutherland fut l’une des artisanes de cette entreprise éditoriale. Elle rejoignit l’équipe qui réalisait cette traduction avec deux convictions : l’une était celle de l’importance de développer une théorie en interaction étroite avec des travaux expérimentaux sous les contraintes de l’institution scolaire, l’autre était celle de la nécessité de construire une problématique fondée sur l’épistémologie des mathématiques et la prise en compte de la complexité de l’enseignement qui inclut les élèves et l’enseignant. J’ai été le témoin, depuis notre première rencontre en 1985, du cheminement qui a forgé cette conviction. Il était guidé par l’écoute des autres chercheurs au sein de la communauté internationale, dont on sait que le plus souvent elle n’allait pas de soi, et la préoccupation constante de faire œuvre utile pour les élèves et les enseignants.


Rosamund Sutherland, professeure de l’Université de Bristol, est décédée à l'âge de 72 ans. Ses recherches sur l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques avaient pour priorité de relever le défi des inégalités scolaires et sociales. Elle s’est attachée tout au long de sa carrière scientifique à montrer que tous les élèves peuvent aller au-delà des attentes avec le soutien d'enseignants bien formés et des opportunités nouvelles créées par les technologies numériques.

 Rosamund faisait partie des pionniers de l’exploration du potentiel des technologies éducatives. Sa première expérience professionnelle fut celle de la programmation chez Bristol Aerospace, travaillant sur le Concorde, puis elle occupa un poste de statisticienne à l'université travaillant sur l'analyse des données d'une expédition trans-antarctique de 1953. Ces premiers emplois témoignent de son expérience en mathématiques et en informatique ainsi que de sa curiosité intellectuelle. Mais son désir était de faire de la recherche, comme elle le confia lors de sa Valedictory lecture (écouter ci-dessous). Aussi, en 1983, est-ce sans hésiter qu’elle accepta l’invitation de Celia Hoyles à s’associer à un projet visant à étudier la façon dont un langage de programmation pourrait contribuer à l’éducation mathématique. Ce fut le début du Logo Math Project et celui d’une longue collaboration avec l’équipe du London Institute of Education.

 En 1995, Rosamund rejoint l’université de Bristol où elle est recrutée sur une chaire de professeure en éducation. Elle a dirigé la Bristol Graduate School of Education de 2003 à 2006 et présidé le Joint Mathematical Council Britannique de 2006 à 2009. Ses travaux étaient reconnus internationalement pour sa contribution à la recherche sur l'apprentissage de l'algèbre et sur plusieurs questions soulevées par l’usage des technologies numériques. Ses recherches sur Logo associaient algèbre, programmation et géométrie. Plus tard, au début des années 90, elle fut l’une des premières collaboratrices internationales du projet Cabri-géomètre. Au début des années 2000, elle collabora au projet Aplusix, un environnement informatique pour l’apprentissage de l’algèbre élémentaire. Enfin, je me souviens de la participation enthousiaste de Rosamund au projet européen Baghera, projet un peu aventureux, qui associait didacticiens des mathématiques, logiciens et informaticiens. Son pragmatisme scientifique n’était un obstacle ni aux ambitions d’avant-garde, ni aux échanges les plus théoriques. Mais avec un principe toujours affirmé : ce sont les mathématiques qui doivent guider la conception et l’usage des technologies d’apprentissage et la vision du numérique éducatif du futur doit intégrer l’enseignant en tant que professionnel et orchestrateur de l'apprentissage.

Passionnée et engagée, Rosamund était consciente de l’importance de l’action collective. Aussi n’a-t-elle pas hésité à consacrer du temps et des efforts pour le succès du réseau d’excellence européen Kaléidoscope (2004-2007), en tant que membre très actif du comité exécutif puis, en tant que cofondatrice, à la réussite du réseau d’excellence européen Stellar (2009-2012) dont les partenaires ont unanimement reconnu son leadership scientifique. En 2017, elle accomplit sa dernière tâche pour le réseau Stellar avec la publication  du livre « Technology Enhanced Learning - Research Themes » préparé avec Mike Sharples et Erik Duval. Ainsi pris fin son engagement généreux et constant pour la communauté scientifique internationale.

Rosamund était attachée au maintien d’une interaction forte entre recherche et pratique de l’enseignement. Elle concevait ses projets avec les enseignants « because the teacher is central », insistait-elle. Lors de son séjour à Grenoble, soutenu par une bourse CNRS en sciences cognitives, au début des années 90, elle a principalement travaillé en classe avec Bernard Capponi, l’un des artisans de l’utilisation des technologies à l’IREM de Grenoble. Elle consacrait du temps à la réflexion théorique dans la mesure où cela permettait de comprendre la classe comme un système complexe où l'apprentissage et l'enseignement ont lieu et interagissent de manière productive. Que ce soit au Mexique, en France ou au Rwanda, l’action prévalait sur la publication et le discours. Comme elle le dit en guise de conclusion de son exposé magistral : « as an academic it sometimes feels as if writing does not achieve very much. What is needed is practical action on the ground and this is what I plan to keep doing for the foreseeable future. »

Au cours des dernières années, Rosamund s’est consacrée à l’action éducative pour élaborer de nouvelles stratégies de coopération dans sa ville. Sa contribution, au sein de l'association caritative South Bristol Youth, réseau collaboratif associant les écoles du sud de Bristol, les deux universités de la ville et un large panel de partenaires, a été particulièrement significative. Les programmes, construits sur l’analyse des données rassemblées par South Bristol Youth, permettent désormais de concrétiser les compétences, la confiance en soi et les réalisations des jeunes de Bristol sud. En 2014, dans son livre, « Education and Social Justice in a Digital Age », Rosamund souligne l'importance de donner à tous les jeunes la possibilité d'acquérir des connaissances scolaires solides et efficaces. L’un de ses derniers projets est le programme Future Brunels qui encourage les jeunes à faire carrière dans les sciences et l’ingénierie. En tant que sociétaire du SS Great Britain Trust, Rosamund a joué un rôle essentiel dans ce programme. La mise en berne des drapeaux du grand navire, fierté de la ville de Bristol, à l’annonce de son décès en témoigne.

Les funérailles de Rosamund Sutherland auront lieu à Bristol le 8 mars 2019. Un hommage peut être rendu en faisant un don au Rosamund Sutherland Memorial Fund par l'intermédiaire de JustGiving afin de marquer le soutien à l’engagement de Rosamund pour aider les jeunes issus de milieux défavorisés à réaliser leur aspiration à poursuivre des études supérieures ou à une formation continue :

https://www.justgiving.com/fundraising/rosamundsutherlandmemorialfund
Adresser les condoléances et témoignages à  <ed-rosamund@bristol.ac.uk>

mercredi 5 septembre 2018

The complexity of the epistemological genesis of mathematical proof

Travelling through Tokyo and Singapore, it is a great pleasure to make a stop and meet colleagues and friends, hence one talk and two seminars. First at the Joetsu Seminar of Research on Mathematics Education in Tokyo on September the 13th, then in Singapore for a seminar at the Mathematics and Mathematics Education (MME) laboratory of the National Institute of Education (NIE) on September the 18th.
Abstract
Early learning of mathematics is first rooted in pragmatic evidences or learners’ confidence in the facts and procedures taught. Nonetheless, learners develop a true knowledge which works as a tool in significant problem situations, and which is accessible to falsification and argumentation. As teachers know, they could validate what they claim to be true, but based on means in general not conforming to mathematical standards. Teaching these standards requires an evolution of their understanding of what can count as a proof in the mathematical classroom, as well as an evolution of their mathematical knowing. This claim is discussed from the perspective of modelling the learners ways of knowing (the model cK¢), within the framework of the theory of didactical situations, bridging the semiotic system they use, the type of actions they perform and the controls they implement either to construct or to validate the solutions they propose to a problem.



Although this presentation is self-content, it could be interesting to complement it with the CINVESTAV talk which focused more on the didactical situations of validation [ppt], one of the specific situations of the Theory of didactical situations [ppt]

lundi 19 février 2018

Quelques réflexions à propos du rapport Villani-Torossian


http://www.education.gouv.fr/cid126423/21-mesures-pour-l-enseignement-des-mathematiques.html
Pour répondre aux problèmes de l’enseignement des mathématiques qu’il décrit et analyse, le rapport Villani-Torossian est structuré par deux lignes de force : la formation des enseignants d’une part et d’autre part les relations entre enseignement et recherche, en tant que celle-ci doive éclairer celui-là.  On peut s’en réjouir, mais avec une réserve : la rédaction est manifestement sous-tendue par une conception de la recherche réduite aux sciences cognitives et à la psychologie, voire aux mathématiques. Ainsi la recherche en didactique des mathématiques parait-elle absente ; quoique certains perçoivent sa prise en compte lorsque le rapport évoque la recherche qui doit être conduite dans les classes et la capitalisation sur l’expérience des enseignants. Vieux chercheur en didactique des mathématiques, mon désir est fort de protester et de rappeler les décennies de développement d’une recherche académique internationale à laquelle nous participons activement et d’une façon reconnue. Mais cela serait vain, car on sera rapidement confronté à la question de savoir à quoi cela a servi, et en quoi l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques en ont bénéficié.  Il faudra alors remonter dans l’histoire. Rappeler, par exemple, la fragilisation des IREM, la mise à mal de la formation, la précarité récurrente de la recherche universitaire dans ce domaine. Ce ne serait que piètre défense, bien que tout cela ait miné tous nos efforts. La meilleure réponse me parait être ailleurs : dire les résultats de ces recherches, qu’elles aient été conduites dans des équipes universitaires ou dans les IREM, faire le bilan des connaissances rapidement utiles pour les enseignants, faire des propositions de formation initiale ou continue.

« Il semble nécessaire de proposer des enseignements de didactique en mathématiques, qui permettent l'appropriation des enjeux d'apprentissage des savoirs, leur reconnaissance dans les activités scolaires proposées aux élèves, la prise en compte des difficultés récurrentes et ce, dans les différentes facettes de l'exercice d’un futur métier » (p.45). Il faut, bien sûr, proposer de tels enseignements. Nous l’avons fait, nous savons le faire. Comme tout enseignement, les contenus de ces formations s’appuieront sur des connaissances explicites, validées par la recherche en didactique des mathématiques. Comme toute formation universitaire, c’est le lien entre formation et recherche qui garantit la qualité et la pertinence de ces enseignements ; il est indispensable que l’une et l’autre soient confortées.

La cinquième des principales mesures proposées par le rapport, « les étapes d’apprentissage­­­­ », et la sixième, « le cours », soulignent des thèmes sur lesquels nous pouvons faire rapidement des propositions concrètes de contenu et d’action.

La cinquième mesure énonce :
« Dès le plus jeune âge mettre en œuvre un apprentissage des mathématiques fondé sur la manipulation et l’expérimentation ; la verbalisation ; l’abstraction. »  
Cette mesure est en résonnance évidente avec les concepts et les modèles de la théorie des situations didactiques. La mise en œuvre d’un tel apprentissage appelle la conception et l’organisation dans la classe de situations adaptées et favorables. C’est à cela que répond la séquence classique – situation d’action, situation de communication, situation de validation – modélisée par la théorie des situations didactiques (et à quoi elle ne se réduit pas). Il est à ce sujet important de souligner que si ce séquencement est celui de l’apprentissage, il est à l’inverse du séquencement de la conception des situations : les connaissances dont l’apprentissage est visé déterminent les types de validation qui eux-mêmes requièrent des compétences langagières et des représentations. La situation d’action est la porte d’entrée dans le processus d’apprentissage en engageant des connaissances initialement disponibles qui évolueront, se modifieront ou seront rejetées et remplacées par les connaissances visées. L’enseignant est présent tout au long de ce parcours, il crée les conditions de l’engagement de l’élève, il l’accompagne en adaptant ses interventions et, au bout du chemin, il identifie, nomme, ce qui est appris. Dans ce cadre, on le comprend, l’erreur n’est pas une faute mais appartient de façon naturelle aux efforts d’exploration, aux tentatives de solution ; elle est constitutive de l’apprentissage (p.15). Enfin, de telles situations « sollicitent [la] créativité [des élèves], développent leur motivation, encouragent leur esprit d’autonomie et d’initiative » (p.58). L’ingénierie didactique rassemble les méthodes et les outils pour concevoir de telles situations et leurs séquencements en s’appuyant sur les modèles et les concepts de la théorie des situations. Elle répond pleinement à la volonté d’apporter à l’enseignant « [qui] ne se voit pas comme un technicien "exécutant" mais comme un professionnel » les connaissances pour le rendre « capable d’analyser sa propre pratique » (p.19). En adoptant l’ingénierie didactique comme approche structurante, la formation s’articulera sur « la pratique du métier, permettant ainsi aux enseignants de s’approprier des notions de didactique des mathématiques, de la maternelle au cycle 3 » (p.13).

La situation de validation est une étape, en quelque sorte, terminale du cheminement vers la notion mathématique qu’il faudra encore expliciter pour qu’elle prenne sa place dans le corpus enseigné, puis travailler pour se l’approprier pleinement. Elle est aussi le point de départ de la construction de l’enseignement. Cette centralité correspond à l’indispensable prise de conscience, par les élèves, du problème de la validité de ce qu’ils apprennent. Cette prise de conscience fonde la culture scientifique et citoyenne bien au-delà des mathématiques elles-mêmes. Elle est indispensable à la compréhension de ce que sont les mathématiques, le rapport est sur ce point très explicite : « la notion de preuve est au cœur de l’activité mathématique, quel que soit le niveau (de façon adaptée, cette assertion est valable de la maternelle à l’université) » (p.25).

Ainsi la sixième mesure énonce-t-elle :
« Rééquilibrer les séances d’enseignement de mathématiques : redonner leur place au cours structuré et à sa trace écrite ; à la notion de preuve ; aux apprentissages explicites. »
Il y a quelques décennies, il n’aurait été question que de la démonstration. L’accent mis ici sur la notion de preuve est significatif. Il permet notamment de vouloir sa présence dès le cycle 1 et d’envisager l’apprentissage dans la durée. L’apprentissage de la démonstration sera alors une étape particulière, préparée par la prise de conscience progressive de la nature et du rôle de la preuve, et l’acquisition de compétences de validation associées au fil du développement de la connaissance. La section 3.1.2 du rapport dédiée à « La preuve » (pp.25-26), par la variété des formulations, illustre toute la difficulté de cet enseignement : « démarche de justification argumentée », « formes d’argumentation propres aux mathématiques », « démonstration » ; la même difficulté se retrouve dans les programmes de 2016 (compétences mathématiques, raisonner). Argumentation, preuve, démonstration ne sont pas synonymes, ces termes renvoient à des productions dont les caractéristiques sont différentes, et sont le produit d’activités – argumenter, prouver, démontrer – qui n’ont ni la même nature, ni la même fonction dans les mathématiques et leur pratique collective, ni la même complexité conceptuelle et langagière. Depuis une trentaine d’années, la recherche en didactique des mathématiques a largement documenté ces questions et produit des résultats sur lesquels on peut s’appuyer. Il est remarquable que les recherches internationales dans ce domaine se soient si largement multipliées, avec la publication de très nombreux articles, livres et la tenue de conférences. La formation des enseignants sur l’enseignement de la preuve, dès les premières années, pourra ainsi s’appuyer sur un large corpus de résultats et d’exemples de situations de classes utilisées pour ces recherches.

La didactique des mathématiques est déjà une composante des enseignements dispensés par les ESPE. Cette formation s’appuie, chaque fois que cela est possible, sur des équipes de recherche. Le rapport montre pleinement son importance, il faut saisir cette opportunité. Certes, très malheureusement, le texte parait ignorer ces recherches et leurs liens forts et anciens avec la formation tant initiale que continue. Plutôt que d’exprimer des regrets et des protestations qui ne seront pas entendues, nous devons avancer, avancer encore, avancer mieux.

Une suggestion ? Créer une base de données constituée des ingénieries bases des dispositifs expérimentaux (projets, thèses, etc.) en les documentant de façon normalisée (objectif, script, bénéfices, limites, etc.).  Les utilisateurs, des enseignants mais pas seulement, pourront adapter ces propositions et documenter en retour. En complément des travaux théoriques, des exposés de concepts, méthodes et de la publication des résultats, une telle ressource approfondira encore le lien entre recherche et pratique. Je ne sous-estime ni la complexité, ni le risque que courent les transferts trop hâtifs de dispositifs expérimentaux vers la classe. Mais le défi vaut d’être relevé avec les formateurs et les enseignants.  Je pense que c’est un moyen de répondre assez directement et précisément au souhait formulé par le rapport Villani-Torossian : « La formation doit permettre aux enseignants de s’approprier des ressources avec toute la distance critique nécessaire, pour concevoir des situations d’enseignement riches. » (p.13).

jeudi 15 février 2018

Une vie pour l'apprentissage des mathématiques et la pensée informatique

Mathématicien et pionnier des technologies éducatives, Seymour Papert a contribué de façon décisive à l’orientation des recherches sur les environnements informatiques pour l’apprentissage humain (EIAH). Son œuvre est à l’origine d’un courant de recherche international sur l’apprentissage des mathématiques avec lequel la recherche en didactique des mathématiques entretient des relations – que l’on pourrait qualifier de dialectiques – depuis le début des années 80. Victime d’un accident en 2006 à Hanoï, où il était l’invité d’une conférence de la 17° étude ICMI2 sur l'utilisation des technologies numériques dans l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques, Seymour Papert a dû brutalement interrompre son activité académique. Il est décédé le 31 juillet 2016.

La revue Recherches en Didactique des mathématiques a souhaité lui rendre hommage, c’est le sens du texte que j'ai proposé pour le numéro 37/2-3 qui vient de paraître. Après avoir évoqué des jalons importants de la vie scientifique de Seymour Papert, ce texte revient sur deux concepts clés, micromonde et constructionisme, qui constituent les piliers fondateurs de son œuvre.

Papert lors de l'ouverture officielle du London Knowledge Lab (début à 14min 15s)

L’héritage de Papert est bien vivant, et l’exploration des voies qu’il a ouvertes est prometteuse. Un Lutin m'a suggéré avec malice de conclure par une citation ; clin d’œil et manière  d’invitation :
"What make our century’s science thinking different from any other century are the ideas associated with computation, computers and information science, and the idea that we should  give children this powerful thing they care about more than anything else, that they ought not to know what goes on inside it - it blows the mind." (Papert 2004)