笔译 邵铭宇 华东师范大学与里昂高师联合培养博士生
数学证明是数学作为科学性学科的核心骨架。纵观整个20世纪，数学教学少有成功的案例，这使得大多数决策者更倾向在学生的认知发展到一定程度后再开展数学教学。近几十年的研究结果表明，这一教学的挑战是可以被克服的，因此，一个广泛的共识是，数学证明应当作为课程的一部分，贯穿于从幼儿园到大学每一个年级。要恰当地表述这一目标，我们需要充分概括出证明的特点并找到正确的单词，因为人们会习惯于把不同的术语看作是同义的。
首先，我建议将教学论问题从“学习证明”略微转变为“理解数学命题的真实性在不同的年级可以如何被判定”。这需要我们加强问题解决和证明活动，以及“知道”(knowing)和“求证”(proving)之间的联系。 为展现这一主张，我将聚焦于以下三个术语：控制 (control)，论证 (argumentation) 和证明 (proof)。它们在这里指代三种不同的验证范式，其着重点从“解决问题”逐渐过渡到“根据所在年级行之有效的数学标准交流解决方案”。其次，我将从认识论和教学论的角度刻画论证与证明之间的关系。在这一过程中，我会留意我们在语言，文化和认识论上的差异。
尽管数学证明的历史根源赋予了其合法性，但数学论证仍将是一个教学概念而非某一数学概念的变体。另一方面，论证的内在社会本质也会对数学证明的理解产生持久的影响。
尽管数学证明是人类活动的产物，它的确证性是某一社会过程的结果，但数学证明并不依赖于特定的个人或群体。数学证明的标准化，除了涉及它作为理论参考的制度化特征，还涉及去人格化、去情景化和非临时性等方面。而论证在本质上则依赖于某一代表、个体或群体的意志，是“情境化”的。
最后，数学论证的特征不仅要使它能够与其他类型的论证区分开来，以管理其朝向某种数学规范的演变，而且这些特征要是可操作的，用以评判、调解学生提出的各种主张，进而把合适的主张组织起来，构筑进课堂的知识库中。例如，一个兼顾一般性和特殊性的通用示例可以如何被评判，而这一示例其实是在一场为寻求共识而展开的对立性辩论中、在尽可能少的妥协的前提下达成平衡的结果？
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