Situations pour l’apprentissage de la preuve en mathématiques : état de la recherche et questions ouvertes

Cours pour la 21ème école d’été de didactique des mathématiques

Les recherches sur la complexité épistémique, logique et discursive de l’apprentissage de la preuve ont suscité une abondante littérature au cours des deux dernières décades. Leurs résultats permettent une analyse plus fine des difficultés rencontrées par les élèves et de celles du travail des professeurs pour l’enseignement de la preuve en mathématiques. Ils confortent la conception de situations spécifiques, notamment les situations de validation au sens de la théorie des situations didactiques (TSD), dans lesquelles la preuve fonctionne comme outil de résolution de problèmes et créent les conditions de recevabilité d’une connaissance nouvelle. Cependant, subsiste la difficulté de saisir la preuve comme objet, pour en reconnaitre les spécificités mathématiques et l’institutionnaliser en tant que telle. C’est sur ce problème que portera l’exposé. Il complète les exposés du séminaire national de didactique des mathématiques (2019a) et du CORFEM (2019b).

La première partie de l’exposé sera consacrée à un état de la recherche internationale en reprenant de comptes-rendus de travaux relevant de différentes problématiques qui se distinguent par la façon dont le problème de l’enseignement de la preuve est posé et étudié.

La seconde partie de l’exposé proposera, dans le cadre de la TSD, une analyse de l’état actuel de la recherche.  La TSD est le cadre théorique de la modélisation des situations d’apprentissage dont l’objectif est de susciter et accompagner la genèse expérimentale de connaissances mathématiques déterminées, cependant que, plus généralement, ces situations « peuvent aider le professeur à faire vivre dans sa classe une véritable petite société mathématique. » (Brousseau, 1998, p. 112 - mes italiques). Les situations de validation jouent un rôle clé. Elles sont un moyen efficace pour la transformation de construits individuels en un objet de connaissance partagé qui pourra être reconnu collectivement et institutionnalisé par l’enseignant.e. La validité de cette connaissance est ainsi attestée, mais le plus souvent en laissant implicite les fondements de cette décision. L’accord est tacite. La preuve est un outil, elle n’est pas en elle-même l’enjeu de la situation—son objet. Cette possibilité limite la portée de ces situations pour l’apprentissage de la preuve. Pour lever cette hypothèque, il faut accéder au « schéma de validation explicite », le mettre en question, en reconnaitre les caractéristiques et les instituer ; alors la petite société de la classe peut prétendre être véritablement mathématique. Guy Brousseau utilise l’expression «situation de preuve » pour les situations de validation ayant ces caractéristiques, mais il ne développe pas la modélisation dans cette direction et n’y revient pas. Je reprendrai l’expression « situation de décision » qui désigne les situations de validation n’exigeant pas l’explicitation d’un schéma de validation explicite, elle facilitera l’identification des types de situations de validation et les caractéristiques qui les distinguent. 

La conclusion de l’exposé portera sur les questions ouvertes pour l’ingénierie de situations nécessaires à la genèse et la reconnaissance des normes de la preuve dans la classe de mathématique avant l’enseignement explicite de la démonstration.

Conceptions et situations

La place de la recherche sur les connaissances des élèves n'est pas tout à fait claire en didactique et est parfois contestée. En témoignent les vifs échanges entre psychologues et didacticiens dans les années 80, années fondatrices de la didactique des mathématiques. Pourtant l'étude de ces connaissances pour leur compréhension et leur modélisation est inséparable de celles engagées dans le cadre de la théorie des situations didactiques, c'est dans ces termes que Guy Brousseau l'évoque dans l'article qu'il publie dans le premier numéro de la revue Recherches en Didactique des Mathématiques alors qu'il déplore que les travaux de Diénès ne conduisent pas le didacticien à "questionner les mathématiques pour y chercher, au-delà des structures, les concepts et au-delà des concepts, éventuellement les conceptions qui pourraient se forger chez un sujet dans des situations historiques ou didactiques particulières."
Il poursuit :

"L'analyse de ces conceptions, qu'il faudra que l'élève possède ou évite, est inséparable de celle de la famille des situations spécifiques où elles prennent leur fonction et utilité. Toutes les deux sont inévitables dans toute entreprise qui prétendrait à la fois fournir une théorie dotée de ses méthodes de confrontation (probablement spécifiques aussi) et de techniques didactiques continument contrôlable par les enseignants" (Brousseau 1980 RDM 1.1 p.46)

Dans le même volume (p.80) Régine Douady insiste :

"Le problème didactique est de reconnaitre et décrire, à travers les actions et démarches des enfants placés dans une situation d'apprentissage, les modèles mathématiques qui expliquent, justifient ces actions et démarches."

En d'autres termes, la proposition de Douady est de produire des modèles mathématiques des conceptions dont Brousseau pose qu'elles sont indissociables des situations. Il faut entendre ici situation au sens de ce qui va, dans l'interaction entre l'élève et le milieu, être la source de problèmes mobilisateur des conceptions. Ces conceptions pouvant être, dans une perspective mathématique, erronées ou inadaptées et ce qui fait problème étant finalement largement déterminé par les conceptions initialement disponibles, la production de modèles tels qu'évoqués par Douady est un défi. C'est celui que relève la proposition de modélisation cK¢ notamment en formalisant la dualité entre problèmes et conceptions.

Scripts, games and situations

Retrieved from the TEL opinion blog, July the 28th, 2006

Recently issued, the book entitled “Barriers and Biases in Computer-Mediated Knowledge Communication” contains among several chapters concerning CSCL , all very stimulating, one about the design and evaluation of the use of scripts which seems to me rich of lessons for our research agenda.  The design, implementation and use of scripts is a topic largely addressed in Kaleidoscope (See CoSSICLE or CAVICoLA ), understanding their benefits and limits is surely critical. More precisely this chapter, written by a group of five leading researchers in the domain, addresses the case of social and epistemic scripts. 

What stimulated my curiosity is that the results of the research presented demonstrate that if social scripts seems to have a positive effect, it is not the case for the latter which have “no or negative effects on learning outcomes”.  

The authors suggest that by decreasing the cognitive demand of the learning tasks the epistemic scripts may lower the level of the knowledge construction.  Actually, when looking at the detail of the epistemic script, one may think that not only the level of cognitive demand is (possibly) less important, but that it may be the task itself which is completely modified. Or better said, the situation in which the students are involved is modified by the fact that there is this possibility to get hints to achieve the proposed task. Definitely, instead of “task” it may be “situation” which is here the right word to make sense of what is happening. While the social script to some extend forces mutual attention and learners commitment without any reference to the content at stake, the epistemic scripts do impact the content explicitly reducing the problem solving space of the learners. 
 

In the end, the question which comes after this reading could be: what is the game played by the learners? The difference then between the social and the epistemic scripts, is that the latter do de facto define the situation (they specify what the game is about) while the former stimulate the learners independently of the characteristics of the situation.
 

Then the question becomes: What is the role of the scripts in framing this knowledge game?
 

The book editors in their introduction to this chapter express a doubt that we will need scripts when CSCL will “have become an every day occurrence, like group work in the classroom”. The question I suggest here above, may show that the answer to this doubt is: yes we will need them, and they will be one of the best features of the CSCL environments. As we know, learning is not a natural characteristic of group work, and if there is any learning there is no evidence of the relevance of the outcome. CSCL scripts may reduce the contingent nature of learning outcome, especially the epistemic script as long as they will not be views as tools to facilitate the achievement of a task, but as means to frame stimulate the construction of the relevant learning game (situation) by the learners. The next step might be to characterise CSCL scripts epistemologically valid against a certain learning stake. Quite a challenge…
 

Armin Weinberger , Markus Reiser, Bernhard Ertl, Frank Fischer , Heinz Mandl: Facilitating collaborative knowledge construction in computer-meidated learning environments with cooperation scripts. In: Reiner Bromme, Friedrich W. Hesse and Hans Spada (eds.) Barriers and biases in computer-mediated knowledge communication (pp. 15-37). Berlin: Springer.