Contrôle, preuve et démonstration. Trois régimes de la validation (1)

Raisonner est l'une des six compétences majeures du socle commun des mathématiques du cycle 4 (années 7, 8 et 9 du cursus français obligatoire). Elle inclut démontrer, c'est-à-dire « utiliser un raisonnement logique et des règles établies (propriétés, théorèmes, formules) pour parvenir à une conclusion » ainsi que « fonder et défendre ses jugements en s’appuyant sur des résultats établis et sur sa maîtrise de l’argumentation. » Démontrer c'est aussi « "donner à voir" les différentes étapes d’une preuve par la présentation, rédigée sous forme déductive, des liens logiques qui la sous-tendent. » des  (DGESco 2016 p.1)

Les mots preuve, démonstration, argumentation sont ainsi utilisés par les textes des programmes de mathématiques et leurs commentaires. Cet usage affirme le caractère central de la démonstration, « moyen mathématique d'accès à la vérité », dans l'apprentissage des mathématiques. Il atteste aussi la difficulté de son enseignement car « [pour] ne pas détourner de la résolution de problèmes les élèves ayant des difficultés à entrer dans les codes de rédaction d’une démonstration, il importe de valoriser les productions spontanées, écrites ou orales, issues des phases de recherche et d’expérimentation (calculs seuls, croquis destinés à comprendre l’exercice, idées de preuve, plan de preuve, etc.). » (DGESco 2016 p.4)

ARDM

J'ai choisi, pour répondre à l'invitation du séminaire national de didactique des mathématiques, d'interroger les avancées de la recherche sur l’apprentissage et l’enseignement de la démonstration et leur capacité à éclairer la mise en œuvre des programmes actuels. Je reviendrai, en introduction, sur le vocabulaire en insistant notamment sur les différents régimes de la validation dans l'activité de l'élève. Puis j'aborderai ces questions dans la problématique de la validation au sens de la théorie des situations didactiques. Les principaux thèmes seront l’articulation entre preuve et connaissance en évoquant brièvement le modèle ck¢, et la relation entre démonstration et argumentation. Une dernière partie portera sur les perspectives ouvertes par les technologies informatiques.

Séminaire national de didactique des mathématiques - ARDM
Paris, 18 novembre 2017 
 

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