Première publication : La lettre de la preuve, Mai/Juin 1999 [original ici]
Le premier diagnostic posé sur ce que pourraient être les sources de difficulté à enseigner et apprendre la démonstration en mathématique a été la nature du contrat didactique le plus naturellement émergeant des positions de l'élève et de l'enseignant relativement aux savoirs en jeu. Parce que l'enseignant est le garant de la légitimité et de la validité épistémologique de ce qui est construit dans la classe, alors l'élève serait privé d'un accès authentique à une problématique de la vérité et de la preuve. Le dépassement de cette difficulté inhérente à la nature des systèmes didactiques peut être recherché dans des situations permettant la dévolution aux élèves de la responsabilité mathématique de ce qu'ils produisent, ce qui signifie l'effacement de l'enseignant dans les processus de prise de décision au cours de la résolution d'un problème au bénéfice d'un effort de construction par les élèves de moyens autonomes de preuve.
J'ai, comme d'autres chercheurs, étudié de telles situations dans le courant des années 80. Les travaux de cette époque me paraissent avoir confirmé le caractère productif et essentiel de l'interaction sociale, mais ils ont aussi et peut être surtout révélé que par sa nature même ce type d'interaction suscitait des processus et des comportements sociaux allant à l'encontre de la construction d'une problématique mathématique, et plus généralement scientifique, de la preuve par les élèves. Ces processus et comportements pouvaient être rassemblés au sein d'une même thématique de référence, celle de l'argumentation. Je citais à l'époque, à l'appui de la conjecture didactique selon laquelle pour les élèves une problématique de l'argumentation viendrait s'opposer à une problématique mathématique de la preuve, les thèses issues des travaux de Perelman, notamment :
Argumentation et démonstration se trouveraient moins distingués par le genre des textes correspondants -- Raymond Duval soulignera que la distance discursives entre eux est faible -- que par le statut et le fonctionnement des énoncés, et donc finalement celui de la connaissance mise en jeu. L'argumentation, parce que son fonctionnement semble émerger naturellement des pratiques communes de discours ne permettrait pas l'identification de la modification du statut et du fonctionnement de la connaissance que requiert le travail mathématique, et en retour la modification de fonctionnement du discours lui-même.
L'examen des rapports de l'argumentation et de la démonstration dans cette approche centrée sur l'analyse du discours me paraît conforter la conjecture d'un rapport conflictuel entre les deux genres lorsque l'on se place dans une perspective d'apprentissage des mathématiques. Raymond Duval en conclura que "le développement de l'argumentation même dans ses formes les plus élaborées n'ouvre pas la voie vers la démonstration. Un apprentissage spécifique et indépendant est nécessaire en ce qui concerne le raisonnement déductif" (utilisant ici, à mon avis à tort, raisonnement déductif comme synonyme de démonstration). Il en conclut que la démonstration relève d'un apprentissage "spécifique et indépendant".
Pourtant, l'étude naturaliste des interactions dans la classe, telle que la conduit par exemple Paul Cobb et son équipe, suggère la possibilité d'une argumentation mathématique à laquelle les élèves accèderaient par la pratique de discussions réglées par des normes socio-mathématiques (sociomathematical norms) qui émergeraient des interactions entre l'enseignant et les élèves (l'enseignant étant regardé comme un représentant la communauté mathématique). Dans cette approche construction d'une rationalité mathématique (la démonstration n'est cependant pas enseignée en tant que telle) et argumentation sont étroitement liées.
A la suite de Perelman on considérera que l'argumentation est moins caractérisée par la prise en charge de son objet que par celle de son auditoire, elle est moins finalisée par l'établissement de la validité d'un énoncé que par la capacité à obtenir l'adhésion d'auditoire. En reprenant la formulation de Plantin, un énoncé dans cette conception a une valeur de raison, voire de vérité, dès lors qu'un individu l'accepte.
Toulmin, en revanche, rapporte la validité d'un énoncé d'abord à celle de la structure du discours (sa rationalité) qui la défend et donc fait fondamentalement dépendre cette validité de celle des prémisses au sein d'une communauté (d'un domaine) de référence dès lors que cette communauté s'accorderait sur les règles.
Ducrot place l'argumentation au cœur de l'activité de parole. Comme le souligne Plantin, on ne peut pas, dans cette problématique, "ne pas argumenter". La structure de la suite des arguments joue un rôle déterminant : la force d'un argument ne viendra ni de caractéristiques "naturelles" ni de caractéristiques rationnelles, mais de sa place dans l'énoncé. C'est par la structure que l'on signifie, que l'on montre une orientation qui permet de recevoir "r comme la visée intentionnelle de P", ou "R comme une suite possible de P". L'analyse des connecteurs (mots de liaison) prend avec Ducrot un importance particulière parce que ce sont eux qui mettent les informations contenues dans un texte au service de son intention argumentative globale. La polyphonie des connecteurs, enfin, permet de mettre en scène dans le discours non seulement le locuteur mais aussi son protagoniste potentiel, "P mais Q" suggère un sujet adhérant à P auquel le locuteur objecte Q.
Nous remarquons que la référence à l'une ou l'autre de ces conceptions de l'argumentation est susceptible de nous faire adopter une position différente quant à ce que peut représenter l'argumentation dans la pratique des mathématiques, notamment avec une visée d'enseignement et en relation avec la démonstration. En se plaçant dans la suite de Toulmin il paraît possible d'envisager une solution de continuité de l'argumentation à la démonstration, et pourquoi pas de considérer la démonstration comme un genre argumentatif particulier (j'ignore si Toulmin marquait entre argumentation et démonstration (mathematical proof) l'opposition que soulignent les autres approches). En revanche l'existence d'une telle solution paraît douteuse lorsqu'on se place dans le cadre proposé par Perelman ou Ducrot.
S'il n'y a pas d'argumentation mathématique, il existe pourtant une argumentation en mathématiques. La résolution de problèmes, dans laquelle je dirais volontiers que tous les coups sont permis, est le lieu où peuvent se développer des pratiques argumentatives reprenant des moyens opérationnels ailleurs (métaphore, analogie, abduction, induction, etc.) qui s'effaceront lors de la construction du discours qui seul sera acceptable au regard des règles propres aux mathématiques. Je résumerai en une formule la place que je crois possible pour l'argumentation en mathématiques, allant dans le sens du concept d'unité cognitive des théorèmes forgé par nos collègues italiens :
L'argumentation est à
la conjecture ce que la démonstration est au
théorème.
Une conséquence que certains jugeront catastrophique est que comme la résolution de problème, l'argumentation sera rebelle à toute tentative d'enseignement direct (bien sûr, je ne confonds pas ici apprentissage de l'argumentation et apprentissage de la rhétorique).
Comprendre la démonstration c'est d'abord construire un rapport particulier à la connaissance en tant qu'enjeu d'une construction théorique, et donc c'est renoncer à la liberté que l'on pouvait se donner, en tant que personne, dans le jeu d'une argumentation. Parce que ce mouvement vers la rationalité mathématique ne peut être accompli qu'en prenant effectivement conscience de la nature de la validation dans cette discipline, il provoquera la double construction de l'argumentation et de la démonstration. L'argumentation dans la pratique commune est spontanée, comme le soulignent ceux qui travaillent le discours. Forgée dans les échanges familiaux, dans la cour de l'école, dans des circonstances multiples et souvent anodines, la compétence argumentative de l'élève est à l'image des pratiques familières : elle va de soi. La classe de mathématique est l'un des lieux où l'existence de cette pratique peut être révélée parce que soudain elle apparaît inadéquate (mais les situations pour susciter cette prise de sonscience sont difficiles à construire). Ce serait même à mes yeux une erreur de caractère épistémologique que de laisser croire aux élèves, par quelque effet jourdain, qu'ils seraient capables de production de preuve mathématique quant ils n'auraient qu'argumenté.
Enfin, et il s'agit là d'une point que je n'ai pas abordé mais que l'on ne peut oublier, le point fort qui sépare l'argumentation et la démonstration est la nécessité pour cette dernière d'exister relativement à une axiomatique explicite. Peut être parce que le temps des mathématiques modernes a laissé de trop mauvais souvenirs, l'idée de lier démonstration et axiomatique paraît le plus souvent susciter l'inquiétude sinon une ferme opposition, et pourtant : pourra-on longtemps faire autrement sans réduire la démonstration à une rhétorique particulière ou les mathématiques à un jeu de langage ?
Duval R. (1991) Structure du raisonnement déductif et apprentissage de la démonstration. Educational Studies in Mathematics 22(3) 233-261.
Duval R. (1992) Argumenter, démontrer, expliquer : continuité ou rupture cognitive ? Petit X 31, 37-61.
Perelman Ch. (1970) Le champ de l'argumentation. Bruxelles : Presses Universitaires.
Plantin C. (1990) Essais sur l'argumentation. Paris : Editions Kimé.
Yackel E, Cobb P. (1996) Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics. Journal for Research in Mathematics Education 27(4) 458-477.
Le premier diagnostic posé sur ce que pourraient être les sources de difficulté à enseigner et apprendre la démonstration en mathématique a été la nature du contrat didactique le plus naturellement émergeant des positions de l'élève et de l'enseignant relativement aux savoirs en jeu. Parce que l'enseignant est le garant de la légitimité et de la validité épistémologique de ce qui est construit dans la classe, alors l'élève serait privé d'un accès authentique à une problématique de la vérité et de la preuve. Le dépassement de cette difficulté inhérente à la nature des systèmes didactiques peut être recherché dans des situations permettant la dévolution aux élèves de la responsabilité mathématique de ce qu'ils produisent, ce qui signifie l'effacement de l'enseignant dans les processus de prise de décision au cours de la résolution d'un problème au bénéfice d'un effort de construction par les élèves de moyens autonomes de preuve.
L'argumentation, une problématique issue de l'étude des interactions sociales
L'interaction sociale entre les élèves est clairement apparue comme l'un des leviers puissants pour favoriser les processus de dévolution aux élèves d'une responsabilité mathématique sur leur activité et leurs productions. Au point que l'interaction sociale ait pu être considérée par certain comme étant la réponse par excellence aux problèmes posés. La rhétorique des tenants d'une telle position s'articulant essentiellement autour de l'idée que l'enseignant relégué au rôle de guide ou d'animateur des apprentissages ouvrirait la place, par ce seul mouvement de retraite, à une authentique construction des connaissances.J'ai, comme d'autres chercheurs, étudié de telles situations dans le courant des années 80. Les travaux de cette époque me paraissent avoir confirmé le caractère productif et essentiel de l'interaction sociale, mais ils ont aussi et peut être surtout révélé que par sa nature même ce type d'interaction suscitait des processus et des comportements sociaux allant à l'encontre de la construction d'une problématique mathématique, et plus généralement scientifique, de la preuve par les élèves. Ces processus et comportements pouvaient être rassemblés au sein d'une même thématique de référence, celle de l'argumentation. Je citais à l'époque, à l'appui de la conjecture didactique selon laquelle pour les élèves une problématique de l'argumentation viendrait s'opposer à une problématique mathématique de la preuve, les thèses issues des travaux de Perelman, notamment :
"tandis que la démonstration, sous sa forme la plus parfaite, est une enfilade de structures et de formes dont le déroulement ne saurait être récusé, l'argumentation a un caractère non-contraignant. Elle laisse à l'auteur l'hésitation, le doute, la liberté de choix ; même quand elle propose des solutions rationnelles, aucune ne l'emporte à coup sûr" (Perelman 1970 p.41).Même sans aller jusqu'à une conception de la démonstration sous sa forme la plus parfaite, ce que nous ferons en nous plaçant du point de vue de la pratique des mathématiciens, il reste une opposition fondamentale sur le terrain de la contribution des ces deux genres de discours à une problématique de la validation. Cette opposition, comme cela est le plus souvent oublié, affecte aussi bien la question de la preuve que celle de la réfutation. Ainsi le traitement ad hoc des contre-exemples par les élèves, dont rendent compte diverses recherches expérimentale, suggère que les contre-exemples sont vus comme des objections plus que comme des réfutations indices d'une contradiction.
L'argumentation, une problématique issue de l'étude des productions verbales
Les rapports entre argumentation et démonstration sont un objet d'étude ancien dans une perspective cognitive et linguistique. Il s'agit alors d'explorer la complexité cognitive de chaque genre, le rapport à la connaissance qu'il implique ou favorise, appuyant l'étude sur l'analyse du texte et des usages de la langue. Pour situer la problématique de tels approches, en reprenant à mon compte une formulation de Jean-Blaise Grize : argumenter est sans doute une activité finalisée, mais c'est une activité discursive (le discours étant quoiqu'il en soit compris comme une activité sociale).Argumentation et démonstration se trouveraient moins distingués par le genre des textes correspondants -- Raymond Duval soulignera que la distance discursives entre eux est faible -- que par le statut et le fonctionnement des énoncés, et donc finalement celui de la connaissance mise en jeu. L'argumentation, parce que son fonctionnement semble émerger naturellement des pratiques communes de discours ne permettrait pas l'identification de la modification du statut et du fonctionnement de la connaissance que requiert le travail mathématique, et en retour la modification de fonctionnement du discours lui-même.
L'examen des rapports de l'argumentation et de la démonstration dans cette approche centrée sur l'analyse du discours me paraît conforter la conjecture d'un rapport conflictuel entre les deux genres lorsque l'on se place dans une perspective d'apprentissage des mathématiques. Raymond Duval en conclura que "le développement de l'argumentation même dans ses formes les plus élaborées n'ouvre pas la voie vers la démonstration. Un apprentissage spécifique et indépendant est nécessaire en ce qui concerne le raisonnement déductif" (utilisant ici, à mon avis à tort, raisonnement déductif comme synonyme de démonstration). Il en conclut que la démonstration relève d'un apprentissage "spécifique et indépendant".
Pourtant, l'étude naturaliste des interactions dans la classe, telle que la conduit par exemple Paul Cobb et son équipe, suggère la possibilité d'une argumentation mathématique à laquelle les élèves accèderaient par la pratique de discussions réglées par des normes socio-mathématiques (sociomathematical norms) qui émergeraient des interactions entre l'enseignant et les élèves (l'enseignant étant regardé comme un représentant la communauté mathématique). Dans cette approche construction d'une rationalité mathématique (la démonstration n'est cependant pas enseignée en tant que telle) et argumentation sont étroitement liées.
Différentes conceptions théoriques de l'argumentation
La diversité que nous pouvons percevoir des problématiques de l'argumentation et de ses rapports aux mathématiques, notamment à la démonstration, est à mon sens fondamentalement due à des différences profondes entre les recherches théoriques dans ce domaine. Je ne ferai pas ici une analyse des diverses problématiques de l'argumentation, mais en m'appuyant sur la synthèse proposée par Christian Plantin dans ses Essais sur l'argumentation, je vais essayer de donner une idée de l'importance d'une prise en compte de cette diversité. Trois auteurs, par le contraste de leurs problématiques et leur distance, peuvent être retenus pour constituer un système de repères par rapports auxquels on pourra situer les travaux sur l'argumentation : Chaïm Perelman, Stephen Toulmin et Oswald Ducrot.A la suite de Perelman on considérera que l'argumentation est moins caractérisée par la prise en charge de son objet que par celle de son auditoire, elle est moins finalisée par l'établissement de la validité d'un énoncé que par la capacité à obtenir l'adhésion d'auditoire. En reprenant la formulation de Plantin, un énoncé dans cette conception a une valeur de raison, voire de vérité, dès lors qu'un individu l'accepte.
Toulmin, en revanche, rapporte la validité d'un énoncé d'abord à celle de la structure du discours (sa rationalité) qui la défend et donc fait fondamentalement dépendre cette validité de celle des prémisses au sein d'une communauté (d'un domaine) de référence dès lors que cette communauté s'accorderait sur les règles.
"[Une argumentation], c'est l'exposition d'une thèse controversée, l'examen de ses conséquences, l'échange de preuves et des bonnes raisons qui la soutiennent, et une clôture bien ou mal établie".Indépendamment des domaines, le discours argumentatif est organisé sur un mode ternaire permettant le passage de données à une conclusion sous le contrôle le plus souvent implicite d'une "licence d'inférer" (ce schéma peut être augmenté d'indicateurs de force ou de restriction permettant de prendre en compte une incertitude possible sur l'inférence).
Ducrot place l'argumentation au cœur de l'activité de parole. Comme le souligne Plantin, on ne peut pas, dans cette problématique, "ne pas argumenter". La structure de la suite des arguments joue un rôle déterminant : la force d'un argument ne viendra ni de caractéristiques "naturelles" ni de caractéristiques rationnelles, mais de sa place dans l'énoncé. C'est par la structure que l'on signifie, que l'on montre une orientation qui permet de recevoir "r comme la visée intentionnelle de P", ou "R comme une suite possible de P". L'analyse des connecteurs (mots de liaison) prend avec Ducrot un importance particulière parce que ce sont eux qui mettent les informations contenues dans un texte au service de son intention argumentative globale. La polyphonie des connecteurs, enfin, permet de mettre en scène dans le discours non seulement le locuteur mais aussi son protagoniste potentiel, "P mais Q" suggère un sujet adhérant à P auquel le locuteur objecte Q.
Nous remarquons que la référence à l'une ou l'autre de ces conceptions de l'argumentation est susceptible de nous faire adopter une position différente quant à ce que peut représenter l'argumentation dans la pratique des mathématiques, notamment avec une visée d'enseignement et en relation avec la démonstration. En se plaçant dans la suite de Toulmin il paraît possible d'envisager une solution de continuité de l'argumentation à la démonstration, et pourquoi pas de considérer la démonstration comme un genre argumentatif particulier (j'ignore si Toulmin marquait entre argumentation et démonstration (mathematical proof) l'opposition que soulignent les autres approches). En revanche l'existence d'une telle solution paraît douteuse lorsqu'on se place dans le cadre proposé par Perelman ou Ducrot.
Les risques de la reconnaissance d'une "argumentation mathématique"
Ma position à ce moment de ma réflexion me porterait à considérer qu'il y a dans l'argumentation un double mouvement de persuasion et de validation. Si on peut en douter dans certaines disputes dans lesquelles la bonne foi n'est pas de rigueur, on peut en revanche en faire l'hypothèse dans une perspective scientifique excluant la tricherie et le mensonge (position idéale sans laquelle notre objet perdrait tout sens).- L'argumentation cherche à emporter l'adhésion d'un auditoire, mais est-ce à dire avec Perelman qu'elle ne se réduirait qu'à cela ?
- L'argumentation met en scène un objet, la validité d'un énoncé. Mais les sources de la compétence argumentative sont dans la langue naturelle et dans des pratiques dont les règles sont le plus souvent d'une nature profondément différente de celles que requièrent les mathématiques, et qui portent la marque profonde des interlocuteurs et des circonstances. Dans cette mesure je dirais volontiers que les cadres théoriques de Toulmin et Ducrot, de façon cependant moins radicale que Perelman, donnent encore une place centrale aux interactions et régulations sociale (mais peut être Ducrot protesterait-il sur ce point). Or, si l'on postule la sincérité des interlocuteurs dans le champ des pratiques scientifique, l'argumentation devra satisfaire les conditions d'une entrée dans une problématique de connaissance qui implique la décontextualisation du discours, l'effacement de l'acteur et de la durée. Toutes conditions qui vont finalement à l'encontre de la nature profonde de l'argumentation quelle que soit la problématique que l'on veuille lui associer.
S'il n'y a pas d'argumentation mathématique, il existe pourtant une argumentation en mathématiques. La résolution de problèmes, dans laquelle je dirais volontiers que tous les coups sont permis, est le lieu où peuvent se développer des pratiques argumentatives reprenant des moyens opérationnels ailleurs (métaphore, analogie, abduction, induction, etc.) qui s'effaceront lors de la construction du discours qui seul sera acceptable au regard des règles propres aux mathématiques. Je résumerai en une formule la place que je crois possible pour l'argumentation en mathématiques, allant dans le sens du concept d'unité cognitive des théorèmes forgé par nos collègues italiens :
Une conséquence que certains jugeront catastrophique est que comme la résolution de problème, l'argumentation sera rebelle à toute tentative d'enseignement direct (bien sûr, je ne confonds pas ici apprentissage de l'argumentation et apprentissage de la rhétorique).
L'argumentation, obstacle épistémologique à l'apprentissage de la démonstration
En conclusion de ce court essai, dans une perspective d'apprentissage, j'en viens à ne soutenir ni la thèse de la continuité ni celle de la rupture entre argumentation et démonstration (ou preuve en mathématique), mais à proposer de reconnaître l'existence d'une relation complexe et constitutive du sens de chacune : l'argumentation se constitue en un obstacle épistémologique à l'apprentissage de la démonstration, et plus généralement de la preuve en mathématique.Comprendre la démonstration c'est d'abord construire un rapport particulier à la connaissance en tant qu'enjeu d'une construction théorique, et donc c'est renoncer à la liberté que l'on pouvait se donner, en tant que personne, dans le jeu d'une argumentation. Parce que ce mouvement vers la rationalité mathématique ne peut être accompli qu'en prenant effectivement conscience de la nature de la validation dans cette discipline, il provoquera la double construction de l'argumentation et de la démonstration. L'argumentation dans la pratique commune est spontanée, comme le soulignent ceux qui travaillent le discours. Forgée dans les échanges familiaux, dans la cour de l'école, dans des circonstances multiples et souvent anodines, la compétence argumentative de l'élève est à l'image des pratiques familières : elle va de soi. La classe de mathématique est l'un des lieux où l'existence de cette pratique peut être révélée parce que soudain elle apparaît inadéquate (mais les situations pour susciter cette prise de sonscience sont difficiles à construire). Ce serait même à mes yeux une erreur de caractère épistémologique que de laisser croire aux élèves, par quelque effet jourdain, qu'ils seraient capables de production de preuve mathématique quant ils n'auraient qu'argumenté.
Enfin, et il s'agit là d'une point que je n'ai pas abordé mais que l'on ne peut oublier, le point fort qui sépare l'argumentation et la démonstration est la nécessité pour cette dernière d'exister relativement à une axiomatique explicite. Peut être parce que le temps des mathématiques modernes a laissé de trop mauvais souvenirs, l'idée de lier démonstration et axiomatique paraît le plus souvent susciter l'inquiétude sinon une ferme opposition, et pourtant : pourra-on longtemps faire autrement sans réduire la démonstration à une rhétorique particulière ou les mathématiques à un jeu de langage ?
Quelques lectures
Ducrot O. (1980) Les échelles argumentatives. Paris : les éditions de Minuit.Duval R. (1991) Structure du raisonnement déductif et apprentissage de la démonstration. Educational Studies in Mathematics 22(3) 233-261.
Duval R. (1992) Argumenter, démontrer, expliquer : continuité ou rupture cognitive ? Petit X 31, 37-61.
Perelman Ch. (1970) Le champ de l'argumentation. Bruxelles : Presses Universitaires.
Plantin C. (1990) Essais sur l'argumentation. Paris : Editions Kimé.
Yackel E, Cobb P. (1996) Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics. Journal for Research in Mathematics Education 27(4) 458-477.
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