The complexity of the epistemological and didactical genesis of mathematical proof (2)

Math Ed. Doctoral Colloquium at CINVESTAV ... hereafter an advanced version of the slides in support to my talk (see the post below for a summary). Questions or comments are welcome (in Spanish, French or English), I will consider them for the talk.

Notes from a research journey on learning proof for
the CINVESTAV doctoral colloquium 2015

cKȼ, origine, cadrage théorique, utilisations et questions (la vidéo)

Voir [ici] le résumé de la commande du laboratoire de didactique André Revuz (LDAR) à laquelle répond l'exposé que l'on pourra suivre en visionnant la vidéo ci-dessous, et [là] pour un résumé plus substantiel.

Enregistrement vidéo de l'exposé présenté au séminaire du laboratoire LDAR
Vendredi 10 avril 2015, 14h-17h

The complexity of the epistemological and didactical genesis of mathematical proof

To come soon: an invited lecture at the Math Ed. Doctoral Colloquium at CINVESTAV, ... hereafter a summary of issues I will address:

Students’ mathematical knowledge is first rooted in pragmatic evidences and in the effort to make sense of the content and procedures taught. They develop a true knowledge which works as a tool in problem situations, and is accessible to falsification and argumentation. They can validate what they claim to be true, but based on means which may not conform to current mathematical standards. The theory of didactical situations (TSD) is based on the recognition of the existence of this true knowledge and the analysis of the specific complexity of the teaching situations from an epistemological perspective. It is in this framework that I propose to address the problems raised by the teaching and learning of mathematical proof. The main issue which I will discuss is that the evolution of the students understanding of what count as proof in mathematics implies – and is constitutive of – an evolution of their knowing of mathematical concepts. This discussion will support the claim that the “situation of validation” conceptualized by the TSD must be the starting point of any didactical engineering.

To prepare your participation, here some outlines of the TSD

Calculus, a cK¢ perspective on learners understanding

On the occasion of the international meeting on learning and teaching calculus to be held in Mexico in September 2015, I will address the problem of understanding and modelling students conceptions in this domain.
I will introduce the keynote by a survey of the recent book from Gilbert Arsac about the birth of Uniform convergence and the role played by Cauchy. Then I develop the case of understanding learners conceptions of function. The objective of this talk is to present, taking Calculus as an example, the use of the cK¢ modelling framework and discuss its effectiveness. A workshop may be organized to discuss the relevance and the technicalities of the approach in the case of the research carried out by the audience.

(Long version of the) slides-show in support to the keynote

Pour comprendre la convergence uniforme, revenir aux sources

La convergence uniforme est un concept complexe qui exige la maitrise des concepts de fonction, de continuité, de limite mais aussi celui de variable. C’est ce que nous apprend au terme d’une enquête d’une grande rigueur dans un style très vivant le livre de Gilbert Arsac, « Cauchy, Abel, Seidel, Stokes et la convergence uniforme », paru récemment chez Hermann dont le sous-titre devrait susciter l’intérêt des chercheurs en didactique des mathématiques : « de la difficulté historique du raisonnement sur les limites ».

Le point de départ de l’étude est le cours d’analyse de Cauchy, de 1821, à l’École Royale Polytechnique, dans lequel il énonce que si une série de fonctions continues est convergente « dans le voisinage d’une valeur particulière » alors la somme de cette série est une fonction continue dans ce voisinage (Cauchy, 1821, pp. 131-132).

Avant d’analyser l’explication que Cauchy donne pour justifier ce théorème, Gilbert Arsac examine ce que sont pour les mathématiciens de l’époque les concepts de variable, de fonction, de limite et de continuité, puis, il propose au lecteur un premier exemple de sa méthode d’enquête sur le cas du théorème des valeurs intermédiaires énoncé, lui aussi, dans ce cours de 1821. En outre, très utilement, il dédie un court chapitre au rappel, pour le lecteur contemporain, de la problématique de la convergence uniforme.

      La méthode de Gilbert Arsac lui permet de limiter autant que possible les anachronismes, et donc les interprétations excessives, lors de son analyse dans laquelle il confronte le texte ancien aux écritures et critères de la mathématique contemporaine. On comprend ainsi comment d’une part la relégation au second plan du concept de fonction derrière celui de variable et, d’autre part, la référence aux caractéristiques graphiques des courbes associées aux fonctions continues sous-jacente à une conception cinétique de la continuité, ont pu constituer des obstacles importants à la découverte de la convergence uniforme. Finalement, c’est l’absence d’expression formelle de la continuité et de la convergence, définitions dites en (ε, η), et celle de la quantification qui jouent le premier rôle. Ce qui est en question ici n’est pas la rigueur, car les textes sont aussi rigoureux qu’ils puissent l’être avec les moyens de l’époque et la volonté de rigueur n’est pas moindre que celle d’aujourd’hui, mais la conceptualisation. L’analyse de Gilbert Arsac montre comment les limitations de la formalisation algébrique pèsent sur l’identification de la relation entre variable et fonction, la compréhension des dépendances introduites par l’ordre des quantificateurs universels et existentiels, la maîtrise de la négation d’un énoncé quantifié pour accéder à une caractérisation générale de la discontinuité.

      L’analyse, qui suit, des contributions d’Abel (1826), Seidel (1847) et  Stokes (1847) confirme les limitations que les outils disponibles imposent à la conceptualisation. Abel énonce une exception au théorème mais ne peut en donner de raisons. Seidel introduit la notion de « convergence lente » (notion voisine de la non convergence uniforme locale) pour expliquer la limite discontinue d’une série de fonctions continues mais est limité par la définition disponible de la continuité et de sa négation. Stokes (1847) étudie le problème d’inversion des limites et identifie la source de contre-exemples dans la condition de « convergence infiniment lente » mais dans un langage qui ne permet pas d’aller jusqu’à l’explicitation du concept moderne de convergence uniforme. Ce dernier cas est particulièrement intéressant en montrant le travail d’interprétation nécessaire et par là toute la distance entre ce que Gilbert Arsac appelle « l’outillage mathématique » de l’époque et les mathématiques contemporaines. L’enquête se clôt sur l’étude du texte de Cauchy de 1853 dans lequel il reconnait l’existence de contre-exemples au théorème énoncé en 1821.

      La méthode de Gilbert Arsac, maintenant familière pour le lecteur qui en a suivi la mise en œuvre sur d'autres textes, lui permet de construire fermement et rigoureusement les arguments pour établir que Cauchy est bien le découvreur du critère de convergence uniforme auquel l’histoire a attribué son nom. 

Un mot revient souvent dans le livre de Gilbert Arsac : interprétation. La conscience des limites de l’interprétation et la vigilance à ne pas solliciter les textes, tous reproduits dans l’ouvrage, est au cœur du travail d’analyse. Mais ce mot en cache un autre : modélisation. C’est en fait un travail de modélisation qui est réalisé en mettant en évidence la complexité et les limites de la compréhension des mathématiques de la première moitié du XIX° avec celle de la première moitié du XXI° siècle. Cette modélisation met en évidence l’interaction entre les outils langagiers, logiques et algébriques, et la façon dont les conceptions (compréhension) des notions en jeu contrôlent la construction des preuves qui ne peuvent, à l’époque, être réduites à un calcul algébrique ou logique. Gilbert Arsac évoque des formulations elliptiques ou des quantifications floues, son texte montre que ce sont des symptômes des limites des moyens disponibles et de la conceptualisation scientifique et non des limites des mathématiciens eux-mêmes.  Ainsi, au terme de la lecture, a-t-on moins l’impression d’en savoir plus sur l’histoire de l’analyse et de la convergence uniforme que de comprendre mieux ce concept difficile et techniquement subtil.

Gilbert Arsac (2009) "La démonstration, une logique en situation ?"
(cliquer sur l'image pour accéder à la vidéo)

cKȼ, origine, cadrage théorique, utilisations et questions

Merci au laboratoire de didactique André Revuz (LDAR) pour m'avoir donné l'occasion de préciser le modèle de connaissance cKȼ, sa place dans le paysage didactique et de donner des exemples de son utilisation. Le support l'exposé est maintenant disponible sur le site de Slideshare et ci-dessous :

cKȼ (pour conception, connaissance, concept) est un modèle construit pour formaliser une représentation du couple sujet/milieu dans le cadre de la théorie des situations didactiques. J'avais déjà eu l'occasion d'en présenter les objectifs et les principaux aspects lors d'un cours donné à l'école d'été de didactique des mathématiques en 2003. Le texte de ce cours rédigé avec le soutien actif de Claire Margolinas est maintenant disponible en ligne [ici].

Une première section de mon exposé rappelle l'usage pragmatique du mot "conception" en didactique des mathématiques et le sens que nous lui attribuons dans nos travaux [Artigue 1989]. Je fais ensuite quelques rappels sur la théorie des situations didactique avant de préciser la construction du modèle dont les premiers éléments sont repris de la formalisation de "concept" proposée par Gérard Vergnaud.
   Une première illustration, pour laquelle je reprends les diapositives d'un exposé à PME-NA en 2013 [voir], met en œuvre cKȼ pour caractériser des conceptions de l'addition (composante algorithmique) en mettant bien en évidence ce qui relève de la sphère de pratique, des opérateurs et des contrôles en lien étroit avec les représentations.
   L'illustration suivante est une relecture d'une ingénierie didactique utilisée dans le cadre de mes premiers travaux sur la preuve à propos de la somme des angles d'un triangle. On trouvera une présentation détaillée de cette ingénierie [ici]. Cet exemple permet de montrer comment cKȼ peut faciliter l'analyse a priori et la détermination du jeu sur les contraintes de la situation pour permettre l'évolution d'une conception vers une autre, cette dernière étant une modélisation de l'enjeu d'enseignement.
   Le modèle a été utilisé explicitement pour la première fois dans le cadre de la thèse de Salima Tahri au début des années 90. Il s'agissait d'étudier les décisions d'enseignants pour piloter un apprentissage en géométrie. Nous nous sommes appuyés sur cKȼ pour décrire les conceptions et l'espace de problèmes (construction du symétrique d'un segment, travaux de Denise Grenier), et construire un environnement dans lequel les enseignants devaient diagnostiquer l'état de connaissance des élèves et décider des feedback qui pourraient au mieux permettre leur évolution.
   J'ai ensuite présenté quelques aspects du projet Baghera qui, au début des années 2000, a été la première mise à l'épreuve du modèle sur l'un de ses objectifs : permettre le diagnostic de conceptions pour ensuite calculer des situations d'apprentissage pilotées par un dispositif informatique. On trouve une présentation détaillée de ce projet dans un rapport préparé par Sophie Soury-Lavergne dans le cadre d'un projet européen éponyme [voir]. Ce projet fortement pluridisciplinaire, associant didactique des mathématiques et informatique, et au sein de l'informatique démonstration automatique et systèmes multi-agents, n'a pas pu être poursuivi. Il a cependant montré un bon potentiel et a connu une suite avec la reprise des idées de Baghera à Barcelone par Josep Fortuny et Philippe Richard dans le cadre du projet AgentGeom.
   Je reviens ensuite vers une problématique plus classique de la didactique des mathématiques en citant le travail conduit par Vilma Mesa à Michigan qui a utilisé cKȼ pour analyser des manuels (premiers apprentissages de la notion de fonction). Ce travail de recherche, qui a conduit à une thèse [voir]. L'analyse de Vilma Mesa ne porte pas directement sur les conceptions mais sur celles que les problèmes posés par les manuels pourraient favoriser, il atteste de fait de la dualité conception/problème. Le modèle permet de caractériser les problèmes en termes de connaissance. Cette dualité conception/problème étaient induite par la formalisation et proposée dans le cours de 2003.
   La dernière section de l'exposé revient sur le travail sur l'argumentation et la preuve, pour montrer le caractère instrumental du modèle pour lier preuve et connaissance en s'appuyant sur l'analyse des contrôles. Cet aspect fait actuellement l'objet d'un travail avec Bettina Pedemonte qui propose de construire un cadre d'analyse de l'argumentation en didactique en associant le schéma de Toulmin et cKȼ.
   Je ne pouvais conclure sans évoquer la TAD et notamment les travaux de Marie-Caroline Croset et Hamid Chaachoua pour apporter dans ce cadre une réponse au problème de la modélisation de l'apprenant. Ce problème n'est pas posé de façon naturelle par la TAD et peut même paraître hors sujet si l'on se souvient des principes qui guident l'approche anthropologique du didactique. Il s'impose cependant de façon "pratique" pour lier rapport institutionnel et rapport personnel de façon opérationnelle. Le concept de praxéologie personnelle (initialement praxis-en-acte chez Croset 2010)  peut être une solution, sa relation avec le modèle cKȼ vaut d'être examinée (comme celle de la TSD avec la TAD). Mais ce travail reste à faire.

cKȼ, un modèle de connaissance : spécificité et utilisations

Le laboratoire de didactique André Revuz (LDAR) m'a invité dans le cadre de son séminaire avec un objectif très précis : expliquer les spécificités du modèle de connaissance cKȼ dans le paysage didactique et donner des exemples de son utilisation.  Le résumé de présentation de ce séminaire est tout simplement l'explicitation de cette demande :

"Plusieurs approches théoriques de la connaissance sont mises en oeuvre au sein du laboratoire LDAR, dont des modèles de conceptions, mais les discussions ou exposés à propos de cKȼ soulignent deux difficultés : comprendre les articulations entre cKȼ et les autres approches théoriques, et comprendre ce qu'apporte son utilisation --- en d'autres termes, la question qui se pose est celle de ce qu'on peut attendre de ce modèle en temps que chercheurs. Ces questions semblent plus fortes que des problèmes liés à la technicité du modèle, à proprement parler. Il peut donc être intéressant, et c'est ce que va être tenté, de préciser les hypothèses aux fondements de cKȼ (quel sujet est concerné, quelles hypothèses sur la connaissance...), ses finalités, ainsi que des usages dans différentes directions, permettant de voir son utilisation "en situation" et de cerner ses apports."

L'exposé en cours de préparation comprendra trois parties : (1) la problématique du modèle cKȼ dans le cadre de la théorie des situations didactiques, (2) les hypothèses sous-jacentes à la construction du modèle, (3) la situation du modèle par rapport à d'autres modèles ou théories incluant les problématiques de modélisation de l'apprenant en informatique, (4) une discussion du modèle y compris celle des apports qui pourraient être portés à son crédit.

Le séminaire aura lieu le Vendredi 10 avril 2015, 14h-17h Salle 247E, 2e étage - bât. Halle aux Farines, Paris 13e

Le contenu de l'exposé est pour une part bien décrit dans : Balacheff N., Margolinas C. (2005) cK¢ Modèle des connaissance pour le calcul de situation didactiques. In : Mercier A. & Margolinas C. (eds.) Balises pour la didactique des mathématiques. (pp.1-32). Grenoble : La Pensée Sauvage.