Apport de la théorie des champs conceptuels à la didactique des mathématiques

École thématique du GDR DEMIPS, CNRS
Autrans 4-7 avril 2022

En hommage à Gérard Vergnaud (1933-2021)

La théorie des champs conceptuels est une "théorie de la conceptualisation du réel", annonce Gérard Vergnaud. Qu'en est-il pour les mathématiques ? domaine auquel Gérard Vergnaud a apporté une contribution majeure.  Je reprendrai les principaux concepts de la théorie, notamment ceux de schème, de concept et de théorème-en-acte. J'aborderai aussi la question de la double valence prédicative et opératoire des connaissances, et celle de la compétence. Enfin, j'aborderai la question de la relation entre concept et représentation sémiotique en discutant l'affirmation : "les mathématiques ne sont pas un langage, mais une connaissance".  La conclusion montrera comment la théorie psychologique construite par Gérard Vergnaud permet l'intégration de l'élève, sujet épistémique et mathématique,  dans la problématique de la didactique des mathématiques.

Situations pour l’apprentissage de la preuve en mathématiques : état de la recherche et questions ouvertes

Cours pour la 21ème école d’été de didactique des mathématiques

Les recherches sur la complexité épistémique, logique et discursive de l’apprentissage de la preuve ont suscité une abondante littérature au cours des deux dernières décades. Leurs résultats permettent une analyse plus fine des difficultés rencontrées par les élèves et de celles du travail des professeurs pour l’enseignement de la preuve en mathématiques. Ils confortent la conception de situations spécifiques, notamment les situations de validation au sens de la théorie des situations didactiques (TSD), dans lesquelles la preuve fonctionne comme outil de résolution de problèmes et créent les conditions de recevabilité d’une connaissance nouvelle. Cependant, subsiste la difficulté de saisir la preuve comme objet, pour en reconnaitre les spécificités mathématiques et l’institutionnaliser en tant que telle. C’est sur ce problème que portera l’exposé. Il complète les exposés du séminaire national de didactique des mathématiques (2019a) et du CORFEM (2019b).

La première partie de l’exposé sera consacrée à un état de la recherche internationale en reprenant de comptes-rendus de travaux relevant de différentes problématiques qui se distinguent par la façon dont le problème de l’enseignement de la preuve est posé et étudié.

La seconde partie de l’exposé proposera, dans le cadre de la TSD, une analyse de l’état actuel de la recherche.  La TSD est le cadre théorique de la modélisation des situations d’apprentissage dont l’objectif est de susciter et accompagner la genèse expérimentale de connaissances mathématiques déterminées, cependant que, plus généralement, ces situations « peuvent aider le professeur à faire vivre dans sa classe une véritable petite société mathématique. » (Brousseau, 1998, p. 112 - mes italiques). Les situations de validation jouent un rôle clé. Elles sont un moyen efficace pour la transformation de construits individuels en un objet de connaissance partagé qui pourra être reconnu collectivement et institutionnalisé par l’enseignant.e. La validité de cette connaissance est ainsi attestée, mais le plus souvent en laissant implicite les fondements de cette décision. L’accord est tacite. La preuve est un outil, elle n’est pas en elle-même l’enjeu de la situation—son objet. Cette possibilité limite la portée de ces situations pour l’apprentissage de la preuve. Pour lever cette hypothèque, il faut accéder au « schéma de validation explicite », le mettre en question, en reconnaitre les caractéristiques et les instituer ; alors la petite société de la classe peut prétendre être véritablement mathématique. Guy Brousseau utilise l’expression «situation de preuve » pour les situations de validation ayant ces caractéristiques, mais il ne développe pas la modélisation dans cette direction et n’y revient pas. Je reprendrai l’expression « situation de décision » qui désigne les situations de validation n’exigeant pas l’explicitation d’un schéma de validation explicite, elle facilitera l’identification des types de situations de validation et les caractéristiques qui les distinguent. 

La conclusion de l’exposé portera sur les questions ouvertes pour l’ingénierie de situations nécessaires à la genèse et la reconnaissance des normes de la preuve dans la classe de mathématique avant l’enseignement explicite de la démonstration.

Séminaires DEMa, Montpellier, quelques question sur le modèle cKȼ

Une visite à l'équipe montpelliéraine de Didactique et Épistémologie des Mathématiques (DEMa) sera l'occasion, le 21 mai, d'un séminaire sur le modèle cKȼ pour répondre à quelques questions notamment sur les structures de contrôles, la notion de µ-objet et celle de théorème au sens de Mariotti.

L'exposé comprendra trois parties : (1) la problématique du modèle cKȼ dans le cadre de la théorie des situations didactiques et de la théorie des champs conceptuels, (2) la caractérisation des conception en insistant sur la notion de contrôle et la notion de µ-objet, (3) son potentiel pour analyser la complexité épistémique des mathématiques en revenant notamment sur la notion d’unité cognitive  dans la résolution de problème proposée par Garuti, Boero et Lemut, et la caractérisation de théorème par Mariotti.

Quelques réflexions à propos du rapport Villani-Torossian

Pour répondre aux problèmes de l’enseignement des mathématiques qu’il décrit et analyse, le rapport Villani-Torossian est structuré par deux lignes de force : la formation des enseignants d’une part et d’autre part les relations entre enseignement et recherche, en tant que celle-ci doive éclairer celui-là.  On peut s’en réjouir, mais avec une réserve : la rédaction est manifestement sous-tendue par une conception de la recherche réduite aux sciences cognitives et à la psychologie, voire aux mathématiques. Ainsi la recherche en didactique des mathématiques parait-elle absente ; quoique certains perçoivent sa prise en compte lorsque le rapport évoque la recherche qui doit être conduite dans les classes et la capitalisation sur l’expérience des enseignants. Vieux chercheur en didactique des mathématiques, mon désir est fort de protester et de rappeler les décennies de développement d’une recherche académique internationale à laquelle nous participons activement et d’une façon reconnue. Mais cela serait vain, car on sera rapidement confronté à la question de savoir à quoi cela a servi, et en quoi l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques en ont bénéficié.  Il faudra alors remonter dans l’histoire. Rappeler, par exemple, la fragilisation des IREM, la mise à mal de la formation, la précarité récurrente de la recherche universitaire dans ce domaine. Ce ne serait que piètre défense, bien que tout cela ait miné tous nos efforts. La meilleure réponse me parait être ailleurs : dire les résultats de ces recherches, qu’elles aient été conduites dans des équipes universitaires ou dans les IREM, faire le bilan des connaissances rapidement utiles pour les enseignants, faire des propositions de formation initiale ou continue.

« Il semble nécessaire de proposer des enseignements de didactique en mathématiques, qui permettent l'appropriation des enjeux d'apprentissage des savoirs, leur reconnaissance dans les activités scolaires proposées aux élèves, la prise en compte des difficultés récurrentes et ce, dans les différentes facettes de l'exercice d’un futur métier » (p.45). Il faut, bien sûr, proposer de tels enseignements. Nous l’avons fait, nous savons le faire. Comme tout enseignement, les contenus de ces formations s’appuieront sur des connaissances explicites, validées par la recherche en didactique des mathématiques. Comme toute formation universitaire, c’est le lien entre formation et recherche qui garantit la qualité et la pertinence de ces enseignements ; il est indispensable que l’une et l’autre soient confortées.

La cinquième des principales mesures proposées par le rapport, « les étapes d’apprentissage­­­­ », et la sixième, « le cours », soulignent des thèmes sur lesquels nous pouvons faire rapidement des propositions concrètes de contenu et d’action.

La cinquième mesure énonce :

« Dès le plus jeune âge mettre en œuvre un apprentissage des mathématiques fondé sur la manipulation et l’expérimentation ; la verbalisation ; l’abstraction. »  

Cette mesure est en résonnance évidente avec les concepts et les modèles de la théorie des situations didactiques. La mise en œuvre d’un tel apprentissage appelle la conception et l’organisation dans la classe de situations adaptées et favorables. C’est à cela que répond la séquence classique – situation d’action, situation de communication, situation de validation – modélisée par la théorie des situations didactiques (et à quoi elle ne se réduit pas). Il est à ce sujet important de souligner que si ce séquencement est celui de l’apprentissage, il est à l’inverse du séquencement de la conception des situations : les connaissances dont l’apprentissage est visé déterminent les types de validation qui eux-mêmes requièrent des compétences langagières et des représentations. La situation d’action est la porte d’entrée dans le processus d’apprentissage en engageant des connaissances initialement disponibles qui évolueront, se modifieront ou seront rejetées et remplacées par les connaissances visées. L’enseignant est présent tout au long de ce parcours, il crée les conditions de l’engagement de l’élève, il l’accompagne en adaptant ses interventions et, au bout du chemin, il identifie, nomme, ce qui est appris. Dans ce cadre, on le comprend, l’erreur n’est pas une faute mais appartient de façon naturelle aux efforts d’exploration, aux tentatives de solution ; elle est constitutive de l’apprentissage (p.15). Enfin, de telles situations « sollicitent [la] créativité [des élèves], développent leur motivation, encouragent leur esprit d’autonomie et d’initiative » (p.58). L’ingénierie didactique rassemble les méthodes et les outils pour concevoir de telles situations et leurs séquencements en s’appuyant sur les modèles et les concepts de la théorie des situations. Elle répond pleinement à la volonté d’apporter à l’enseignant « [qui] ne se voit pas comme un technicien "exécutant" mais comme un professionnel » les connaissances pour le rendre « capable d’analyser sa propre pratique » (p.19). En adoptant l’ingénierie didactique comme approche structurante, la formation s’articulera sur « la pratique du métier, permettant ainsi aux enseignants de s’approprier des notions de didactique des mathématiques, de la maternelle au cycle 3 » (p.13).

La situation de validation est une étape, en quelque sorte, terminale du cheminement vers la notion mathématique qu’il faudra encore expliciter pour qu’elle prenne sa place dans le corpus enseigné, puis travailler pour se l’approprier pleinement. Elle est aussi le point de départ de la construction de l’enseignement. Cette centralité correspond à l’indispensable prise de conscience, par les élèves, du problème de la validité de ce qu’ils apprennent. Cette prise de conscience fonde la culture scientifique et citoyenne bien au-delà des mathématiques elles-mêmes. Elle est indispensable à la compréhension de ce que sont les mathématiques, le rapport est sur ce point très explicite : « la notion de preuve est au cœur de l’activité mathématique, quel que soit le niveau (de façon adaptée, cette assertion est valable de la maternelle à l’université) » (p.25).

Ainsi la sixième mesure énonce-t-elle :

« Rééquilibrer les séances d’enseignement de mathématiques : redonner leur place au cours structuré et à sa trace écrite ; à la notion de preuve ; aux apprentissages explicites. »

Il y a quelques décennies, il n’aurait été question que de la démonstration. L’accent mis ici sur la notion de preuve est significatif. Il permet notamment de vouloir sa présence dès le cycle 1 et d’envisager l’apprentissage dans la durée. L’apprentissage de la démonstration sera alors une étape particulière, préparée par la prise de conscience progressive de la nature et du rôle de la preuve, et l’acquisition de compétences de validation associées au fil du développement de la connaissance. La section 3.1.2 du rapport dédiée à « La preuve » (pp.25-26), par la variété des formulations, illustre toute la difficulté de cet enseignement : « démarche de justification argumentée », « formes d’argumentation propres aux mathématiques », « démonstration » ; la même difficulté se retrouve dans les programmes de 2016 (compétences mathématiques, raisonner). Argumentation, preuve, démonstration ne sont pas synonymes, ces termes renvoient à des productions dont les caractéristiques sont différentes, et sont le produit d’activités – argumenter, prouver, démontrer – qui n’ont ni la même nature, ni la même fonction dans les mathématiques et leur pratique collective, ni la même complexité conceptuelle et langagière. Depuis une trentaine d’années, la recherche en didactique des mathématiques a largement documenté ces questions et produit des résultats sur lesquels on peut s’appuyer. Il est remarquable que les recherches internationales dans ce domaine se soient si largement multipliées, avec la publication de très nombreux articles, livres et la tenue de conférences. La formation des enseignants sur l’enseignement de la preuve, dès les premières années, pourra ainsi s’appuyer sur un large corpus de résultats et d’exemples de situations de classes utilisées pour ces recherches.

La didactique des mathématiques est déjà une composante des enseignements dispensés par les ESPE. Cette formation s’appuie, chaque fois que cela est possible, sur des équipes de recherche. Le rapport montre pleinement son importance, il faut saisir cette opportunité. Certes, très malheureusement, le texte parait ignorer ces recherches et leurs liens forts et anciens avec la formation tant initiale que continue. Plutôt que d’exprimer des regrets et des protestations qui ne seront pas entendues, nous devons avancer, avancer encore, avancer mieux.

Une suggestion ? Créer une base de données constituée des ingénieries bases des dispositifs expérimentaux (projets, thèses, etc.) en les documentant de façon normalisée (objectif, script, bénéfices, limites, etc.).  Les utilisateurs, des enseignants mais pas seulement, pourront adapter ces propositions et documenter en retour. En complément des travaux théoriques, des exposés de concepts, méthodes et de la publication des résultats, une telle ressource approfondira encore le lien entre recherche et pratique. Je ne sous-estime ni la complexité, ni le risque que courent les transferts trop hâtifs de dispositifs expérimentaux vers la classe. Mais le défi vaut d’être relevé avec les formateurs et les enseignants.  Je pense que c’est un moyen de répondre assez directement et précisément au souhait formulé par le rapport Villani-Torossian : « La formation doit permettre aux enseignants de s’approprier des ressources avec toute la distance critique nécessaire, pour concevoir des situations d’enseignement riches. » (p.13).

Contrôle, preuve et démonstration. Trois régimes de la validation (2)

Mise à jour janvier 2020 :

Balacheff N. (2019) Contrôle, preuve et démonstration. Trois régimes de la validation. In: Pilet J., Vendeira C. (eds.) Actes du séminaire national de didactique des mathématiques 2018 (pp.423-456). Paris : ARDM et IREM de Paris - Université de Paris Diderot.

texte accessible en ligne [ici]

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L'enregistrement de l'exposé au séminaire national ARDM de Didactique des mathématiques est disponible. Il suffit pour y accéder de cliquer sur l'image ci-dessous. Le résumé et le diaporama sont accessibles [ici].

Je répondrai aux questions éventuelles dans le fil de commentaires associé à ce billet.

Références utiles (prochainement complétées) :

Brousseau G. (2000) Que peut-on enseigner en mathématiques à l'école primaire et pourquoi ?  Repères IREM 7-10,  n° 38  Topiques éditions.
Duval R. (1992) Argumenter,démontrer, expliquer. Continuité ou rupture cognitive ? Petit X, 31 pp. 37-61.

DGESco (2008) Raisonnement et démonstration.  Ressources pour les classes de 6e, 5e, 4e, et 3e du collège. EduSCOL. Paris : Ministère de l’éducation nationale.

DGESco (2016) Raisonner. Ressources d'accompagnement du programme de mathématiques (cycle 4). Eduscol. Paris : Ministère de l’éducation nationale, de l’enseignement supérieur et de la recherche. 

Contrôle, preuve et démonstration. Trois régimes de la validation (1)

Raisonner est l'une des six compétences majeures du socle commun des mathématiques du cycle 4 (années 7, 8 et 9 du cursus français obligatoire). Elle inclut démontrer, c'est-à-dire « utiliser un raisonnement logique et des règles établies (propriétés, théorèmes, formules) pour parvenir à une conclusion » ainsi que « fonder et défendre ses jugements en s’appuyant sur des résultats établis et sur sa maîtrise de l’argumentation. » Démontrer c'est aussi « "donner à voir" les différentes étapes d’une preuve par la présentation, rédigée sous forme déductive, des liens logiques qui la sous-tendent. » des  (DGESco 2016 p.1)

Les mots preuve, démonstration, argumentation sont ainsi utilisés par les textes des programmes de mathématiques et leurs commentaires. Cet usage affirme le caractère central de la démonstration, « moyen mathématique d'accès à la vérité », dans l'apprentissage des mathématiques. Il atteste aussi la difficulté de son enseignement car « [pour] ne pas détourner de la résolution de problèmes les élèves ayant des difficultés à entrer dans les codes de rédaction d’une démonstration, il importe de valoriser les productions spontanées, écrites ou orales, issues des phases de recherche et d’expérimentation (calculs seuls, croquis destinés à comprendre l’exercice, idées de preuve, plan de preuve, etc.). » (DGESco 2016 p.4)

ARDM

J'ai choisi, pour répondre à l'invitation du séminaire national de didactique des mathématiques, d'interroger les avancées de la recherche sur l’apprentissage et l’enseignement de la démonstration et leur capacité à éclairer la mise en œuvre des programmes actuels. Je reviendrai, en introduction, sur le vocabulaire en insistant notamment sur les différents régimes de la validation dans l'activité de l'élève. Puis j'aborderai ces questions dans la problématique de la validation au sens de la théorie des situations didactiques. Les principaux thèmes seront l’articulation entre preuve et connaissance en évoquant brièvement le modèle ck¢, et la relation entre démonstration et argumentation. Une dernière partie portera sur les perspectives ouvertes par les technologies informatiques.

Séminaire national de didactique des mathématiques - ARDM
Paris, 18 novembre 2017 
 

Cliquer [ici] pour obtenir le programme du séminaire national de didactique des mathématiques. Paris, samedi 18 novembre 2017

Serious games, conjugaison de jeux d'apprentissage et de jeux de la connaissance

La notion de jeu est l'une des premières composantes de la construction de modèles dans le cadre de la théorie des situations didactiques (TSD):

"Modéliser une situation d'enseignement consiste à produire un jeu spécifique du savoir visé, entre différents sous-systèmes : le système éducatif, le système élève, le milieu, etc." Mais, écrit Brousseau (1986/ in 1998 p.80), "Il ne s'agit pas de décrire précisément ces sous-systèmes autrement que par les relations qu'ils entretiennent dans le jeu."
- Au regard de la connaissance : "le jeu doit être tel que la connaissance apparaisse sous la forme choisie, comme la solution, ou le moyen d'établir la stratégie optimale [...]" (ibid. p.80)
- Au regard de l'activité d'enseignement :"le jeu doit permettre de représenter toutes les situations observées dans les classes (sinon les déroulements particuliers) même les moins satisfaisantes dès lors qu'elles parviennent à faire apprendre à des élèves une forme de savoir visé. Il doit pouvoir engendrer toutes les variantes, même les plus dégénérées. Elles seront obtenues par le choix des valeurs de certaines variables caractéristiques de ce jeu." (ibid. p.81)

Ainsi le jeu, source de motivations, peut par ses règles, ses représentations et ses stratégies,  accompagner l'apprenant vers la connaissance enjeu de l'apprentissage.

Le diaporama ci-dessous a servi de support à un exposé introductif à une discussion lors d'un séminaire de l'équipe MeTAH en juin 2010 sur le thème des jeux sérieux. Il met en relation la problématique du jeu au sens de la TSD et la problématique des jeux sérieux.

cKȼ, origine, cadrage théorique, utilisations et questions (la vidéo)

Voir [ici] le résumé de la commande du laboratoire de didactique André Revuz (LDAR) à laquelle répond l'exposé que l'on pourra suivre en visionnant la vidéo ci-dessous, et [là] pour un résumé plus substantiel.

Enregistrement vidéo de l'exposé présenté au séminaire du laboratoire LDAR
Vendredi 10 avril 2015, 14h-17h

cKȼ, origine, cadrage théorique, utilisations et questions

Merci au laboratoire de didactique André Revuz (LDAR) pour m'avoir donné l'occasion de préciser le modèle de connaissance cKȼ, sa place dans le paysage didactique et de donner des exemples de son utilisation. Le support l'exposé est maintenant disponible sur le site de Slideshare et ci-dessous :

cKȼ (pour conception, connaissance, concept) est un modèle construit pour formaliser une représentation du couple sujet/milieu dans le cadre de la théorie des situations didactiques. J'avais déjà eu l'occasion d'en présenter les objectifs et les principaux aspects lors d'un cours donné à l'école d'été de didactique des mathématiques en 2003. Le texte de ce cours rédigé avec le soutien actif de Claire Margolinas est maintenant disponible en ligne [ici].

Une première section de mon exposé rappelle l'usage pragmatique du mot "conception" en didactique des mathématiques et le sens que nous lui attribuons dans nos travaux [Artigue 1989]. Je fais ensuite quelques rappels sur la théorie des situations didactique avant de préciser la construction du modèle dont les premiers éléments sont repris de la formalisation de "concept" proposée par Gérard Vergnaud.
   Une première illustration, pour laquelle je reprends les diapositives d'un exposé à PME-NA en 2013 [voir], met en œuvre cKȼ pour caractériser des conceptions de l'addition (composante algorithmique) en mettant bien en évidence ce qui relève de la sphère de pratique, des opérateurs et des contrôles en lien étroit avec les représentations.
   L'illustration suivante est une relecture d'une ingénierie didactique utilisée dans le cadre de mes premiers travaux sur la preuve à propos de la somme des angles d'un triangle. On trouvera une présentation détaillée de cette ingénierie [ici]. Cet exemple permet de montrer comment cKȼ peut faciliter l'analyse a priori et la détermination du jeu sur les contraintes de la situation pour permettre l'évolution d'une conception vers une autre, cette dernière étant une modélisation de l'enjeu d'enseignement.
   Le modèle a été utilisé explicitement pour la première fois dans le cadre de la thèse de Salima Tahri au début des années 90. Il s'agissait d'étudier les décisions d'enseignants pour piloter un apprentissage en géométrie. Nous nous sommes appuyés sur cKȼ pour décrire les conceptions et l'espace de problèmes (construction du symétrique d'un segment, travaux de Denise Grenier), et construire un environnement dans lequel les enseignants devaient diagnostiquer l'état de connaissance des élèves et décider des feedback qui pourraient au mieux permettre leur évolution.
   J'ai ensuite présenté quelques aspects du projet Baghera qui, au début des années 2000, a été la première mise à l'épreuve du modèle sur l'un de ses objectifs : permettre le diagnostic de conceptions pour ensuite calculer des situations d'apprentissage pilotées par un dispositif informatique. On trouve une présentation détaillée de ce projet dans un rapport préparé par Sophie Soury-Lavergne dans le cadre d'un projet européen éponyme [voir]. Ce projet fortement pluridisciplinaire, associant didactique des mathématiques et informatique, et au sein de l'informatique démonstration automatique et systèmes multi-agents, n'a pas pu être poursuivi. Il a cependant montré un bon potentiel et a connu une suite avec la reprise des idées de Baghera à Barcelone par Josep Fortuny et Philippe Richard dans le cadre du projet AgentGeom.
   Je reviens ensuite vers une problématique plus classique de la didactique des mathématiques en citant le travail conduit par Vilma Mesa à Michigan qui a utilisé cKȼ pour analyser des manuels (premiers apprentissages de la notion de fonction). Ce travail de recherche, qui a conduit à une thèse [voir]. L'analyse de Vilma Mesa ne porte pas directement sur les conceptions mais sur celles que les problèmes posés par les manuels pourraient favoriser, il atteste de fait de la dualité conception/problème. Le modèle permet de caractériser les problèmes en termes de connaissance. Cette dualité conception/problème étaient induite par la formalisation et proposée dans le cours de 2003.
   La dernière section de l'exposé revient sur le travail sur l'argumentation et la preuve, pour montrer le caractère instrumental du modèle pour lier preuve et connaissance en s'appuyant sur l'analyse des contrôles. Cet aspect fait actuellement l'objet d'un travail avec Bettina Pedemonte qui propose de construire un cadre d'analyse de l'argumentation en didactique en associant le schéma de Toulmin et cKȼ.
   Je ne pouvais conclure sans évoquer la TAD et notamment les travaux de Marie-Caroline Croset et Hamid Chaachoua pour apporter dans ce cadre une réponse au problème de la modélisation de l'apprenant. Ce problème n'est pas posé de façon naturelle par la TAD et peut même paraître hors sujet si l'on se souvient des principes qui guident l'approche anthropologique du didactique. Il s'impose cependant de façon "pratique" pour lier rapport institutionnel et rapport personnel de façon opérationnelle. Le concept de praxéologie personnelle (initialement praxis-en-acte chez Croset 2010)  peut être une solution, sa relation avec le modèle cKȼ vaut d'être examinée (comme celle de la TSD avec la TAD). Mais ce travail reste à faire.

cKȼ, un modèle de connaissance : spécificité et utilisations

Le laboratoire de didactique André Revuz (LDAR) m'a invité dans le cadre de son séminaire avec un objectif très précis : expliquer les spécificités du modèle de connaissance cKȼ dans le paysage didactique et donner des exemples de son utilisation.  Le résumé de présentation de ce séminaire est tout simplement l'explicitation de cette demande :

"Plusieurs approches théoriques de la connaissance sont mises en oeuvre au sein du laboratoire LDAR, dont des modèles de conceptions, mais les discussions ou exposés à propos de cKȼ soulignent deux difficultés : comprendre les articulations entre cKȼ et les autres approches théoriques, et comprendre ce qu'apporte son utilisation --- en d'autres termes, la question qui se pose est celle de ce qu'on peut attendre de ce modèle en temps que chercheurs. Ces questions semblent plus fortes que des problèmes liés à la technicité du modèle, à proprement parler. Il peut donc être intéressant, et c'est ce que va être tenté, de préciser les hypothèses aux fondements de cKȼ (quel sujet est concerné, quelles hypothèses sur la connaissance...), ses finalités, ainsi que des usages dans différentes directions, permettant de voir son utilisation "en situation" et de cerner ses apports."

L'exposé en cours de préparation comprendra trois parties : (1) la problématique du modèle cKȼ dans le cadre de la théorie des situations didactiques, (2) les hypothèses sous-jacentes à la construction du modèle, (3) la situation du modèle par rapport à d'autres modèles ou théories incluant les problématiques de modélisation de l'apprenant en informatique, (4) une discussion du modèle y compris celle des apports qui pourraient être portés à son crédit.

Le séminaire aura lieu le Vendredi 10 avril 2015, 14h-17h Salle 247E, 2e étage - bât. Halle aux Farines, Paris 13e

Le contenu de l'exposé est pour une part bien décrit dans : Balacheff N., Margolinas C. (2005) cK¢ Modèle des connaissance pour le calcul de situation didactiques. In : Mercier A. & Margolinas C. (eds.) Balises pour la didactique des mathématiques. (pp.1-32). Grenoble : La Pensée Sauvage.

Conceptions et situations

La place de la recherche sur les connaissances des élèves n'est pas tout à fait claire en didactique et est parfois contestée. En témoignent les vifs échanges entre psychologues et didacticiens dans les années 80, années fondatrices de la didactique des mathématiques. Pourtant l'étude de ces connaissances pour leur compréhension et leur modélisation est inséparable de celles engagées dans le cadre de la théorie des situations didactiques, c'est dans ces termes que Guy Brousseau l'évoque dans l'article qu'il publie dans le premier numéro de la revue Recherches en Didactique des Mathématiques alors qu'il déplore que les travaux de Diénès ne conduisent pas le didacticien à "questionner les mathématiques pour y chercher, au-delà des structures, les concepts et au-delà des concepts, éventuellement les conceptions qui pourraient se forger chez un sujet dans des situations historiques ou didactiques particulières."
Il poursuit :

"L'analyse de ces conceptions, qu'il faudra que l'élève possède ou évite, est inséparable de celle de la famille des situations spécifiques où elles prennent leur fonction et utilité. Toutes les deux sont inévitables dans toute entreprise qui prétendrait à la fois fournir une théorie dotée de ses méthodes de confrontation (probablement spécifiques aussi) et de techniques didactiques continument contrôlable par les enseignants" (Brousseau 1980 RDM 1.1 p.46)

Dans le même volume (p.80) Régine Douady insiste :

"Le problème didactique est de reconnaitre et décrire, à travers les actions et démarches des enfants placés dans une situation d'apprentissage, les modèles mathématiques qui expliquent, justifient ces actions et démarches."

En d'autres termes, la proposition de Douady est de produire des modèles mathématiques des conceptions dont Brousseau pose qu'elles sont indissociables des situations. Il faut entendre ici situation au sens de ce qui va, dans l'interaction entre l'élève et le milieu, être la source de problèmes mobilisateur des conceptions. Ces conceptions pouvant être, dans une perspective mathématique, erronées ou inadaptées et ce qui fait problème étant finalement largement déterminé par les conceptions initialement disponibles, la production de modèles tels qu'évoqués par Douady est un défi. C'est celui que relève la proposition de modélisation cK¢ notamment en formalisant la dualité entre problèmes et conceptions.

cK¢, une introduction à l'occasion de la conférence PMENA 2013

J'aurai l'occasion cet automne de présenter les principes et objectifs du modèle cK¢ dans le cadre de la conférence annuelle de la section américaine du groupe international Psychology of Mathematics Education. Voici le résumé de mon exposé dont le texte est disponible sur HAL sous le titre "cK¢, a model to reason on learners' conceptions"

"Understanding learners' understanding is a key requirement for an efficient design of teaching situations and learning environments, be they digital or not. This keynote outlines the modeling framework cK¢ (conception, knowing, concept) created with the objective to respond to this requirement, with the additional ambition to build a bridge between research in mathematics education and research in educational technology. After an introduction of the rationale of cK¢, some illustrations are presented. Then follow comments on cK¢ and learning. The conclusion evokes key research issues raised by the use of this modeling framework."

 La conférence PMENA a lieu du 14 au 17 novembre à Chicago.