Apport de la théorie des champs conceptuels à la didactique des mathématiques

École thématique du GDR DEMIPS, CNRS
Autrans 4-7 avril 2022

En hommage à Gérard Vergnaud (1933-2021)

La théorie des champs conceptuels est une "théorie de la conceptualisation du réel", annonce Gérard Vergnaud. Qu'en est-il pour les mathématiques ? domaine auquel Gérard Vergnaud a apporté une contribution majeure.  Je reprendrai les principaux concepts de la théorie, notamment ceux de schème, de concept et de théorème-en-acte. J'aborderai aussi la question de la double valence prédicative et opératoire des connaissances, et celle de la compétence. Enfin, j'aborderai la question de la relation entre concept et représentation sémiotique en discutant l'affirmation : "les mathématiques ne sont pas un langage, mais une connaissance".  La conclusion montrera comment la théorie psychologique construite par Gérard Vergnaud permet l'intégration de l'élève, sujet épistémique et mathématique,  dans la problématique de la didactique des mathématiques.

Mathematical argumentation as a precursor of mathematical proof

I am delighted to discuss research on mathematical proof soon with Andreas Stylianides and the Cambridge Mathematics Education team.

Here is the seminar abstract:
Along history or across educational traditions, the space given to mathematical proof in compulsory school curricula varies from a quasi-absence to a formal obligation which for some has turned into an obstacle to mathematics learning. The contemporary evolution is to give to proof the space it deserves in the learning of mathematics. This is for example witnessed in different ways by The national curriculum in England (2014), the Common Core State Standards for Mathematics (2010) in the US or the recent Report on the teaching of mathematics (1918) commissioned by the French government; the latter asserts: The notion of proof is at the heart of mathematical activity, whatever the level (this assertion is valid from kindergarten to university). And, beyond mathematical theory, understanding what is a reasoned justification approach based on logic is an important aspect of citizen training. The seeds of this fundamentally mathematical approach are sown in the early grades. These are a few examples of the current worldwide consensus on the centrality proof should have in the compulsory school curricula. However, the institutional statements share difficulty to express this objective. The vocabulary includes words such as argument, justification and proof without clear reasons for such diversity: are these words mere synonymous or are there differences that we should pay attention to? What are the characteristics of the discourse these words may refer to in the mathematics classroom? Eventually, how can be addressed the problem of assessing the truth value of a mathematical statement at the different grades all along compulsory school? I shall explore these questions, starting from questioning the meaning of these words and its consequences. Then, I shall shape the relations between argumentation and proof from an epistemological and didactical perspective. In the end, the participants will be invited to a discussion on the benefit and relevance of shaping the notion of mathematical argumentation as a precursor of mathematical proof.

Monday 18th November 2019, 2.30-4.00pm
Faculty of Education, Donald McIntyre Building (room GS4)

Séminaires DEMa, Montpellier, quelques question sur le modèle cKȼ

Une visite à l'équipe montpelliéraine de Didactique et Épistémologie des Mathématiques (DEMa) sera l'occasion, le 21 mai, d'un séminaire sur le modèle cKȼ pour répondre à quelques questions notamment sur les structures de contrôles, la notion de µ-objet et celle de théorème au sens de Mariotti.

L'exposé comprendra trois parties : (1) la problématique du modèle cKȼ dans le cadre de la théorie des situations didactiques et de la théorie des champs conceptuels, (2) la caractérisation des conception en insistant sur la notion de contrôle et la notion de µ-objet, (3) son potentiel pour analyser la complexité épistémique des mathématiques en revenant notamment sur la notion d’unité cognitive  dans la résolution de problème proposée par Garuti, Boero et Lemut, et la caractérisation de théorème par Mariotti.

The complexity of the epistemological genesis of mathematical proof

Travelling through Tokyo and Singapore, it is a great pleasure to make a stop and meet colleagues and friends, hence one talk and two seminars. First at the Joetsu Seminar of Research on Mathematics Education in Tokyo on September the 13th, then in Singapore for a seminar at the Mathematics and Mathematics Education (MME) laboratory of the National Institute of Education (NIE) on September the 18th.

Abstract
Early learning of mathematics is first rooted in pragmatic evidences or learners’ confidence in the facts and procedures taught. Nonetheless, learners develop a true knowledge which works as a tool in significant problem situations, and which is accessible to falsification and argumentation. As teachers know, they could validate what they claim to be true, but based on means in general not conforming to mathematical standards. Teaching these standards requires an evolution of their understanding of what can count as a proof in the mathematical classroom, as well as an evolution of their mathematical knowing. This claim is discussed from the perspective of modelling the learners ways of knowing (the model cK¢), within the framework of the theory of didactical situations, bridging the semiotic system they use, the type of actions they perform and the controls they implement either to construct or to validate the solutions they propose to a problem.

Although this presentation is self-content, it could be interesting to complement it with the CINVESTAV talk which focused more on the didactical situations of validation [ppt], one of the specific situations of the Theory of didactical situations [ppt]

Contrôle, preuve et démonstration. Trois régimes de la validation (2)

Mise à jour janvier 2020 :

Balacheff N. (2019) Contrôle, preuve et démonstration. Trois régimes de la validation. In: Pilet J., Vendeira C. (eds.) Actes du séminaire national de didactique des mathématiques 2018 (pp.423-456). Paris : ARDM et IREM de Paris - Université de Paris Diderot.

texte accessible en ligne [ici]

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L'enregistrement de l'exposé au séminaire national ARDM de Didactique des mathématiques est disponible. Il suffit pour y accéder de cliquer sur l'image ci-dessous. Le résumé et le diaporama sont accessibles [ici].

Je répondrai aux questions éventuelles dans le fil de commentaires associé à ce billet.

Références utiles (prochainement complétées) :

Brousseau G. (2000) Que peut-on enseigner en mathématiques à l'école primaire et pourquoi ?  Repères IREM 7-10,  n° 38  Topiques éditions.
Duval R. (1992) Argumenter,démontrer, expliquer. Continuité ou rupture cognitive ? Petit X, 31 pp. 37-61.

DGESco (2008) Raisonnement et démonstration.  Ressources pour les classes de 6e, 5e, 4e, et 3e du collège. EduSCOL. Paris : Ministère de l’éducation nationale.

DGESco (2016) Raisonner. Ressources d'accompagnement du programme de mathématiques (cycle 4). Eduscol. Paris : Ministère de l’éducation nationale, de l’enseignement supérieur et de la recherche. 

Contrôle, preuve et démonstration. Trois régimes de la validation (1)

Raisonner est l'une des six compétences majeures du socle commun des mathématiques du cycle 4 (années 7, 8 et 9 du cursus français obligatoire). Elle inclut démontrer, c'est-à-dire « utiliser un raisonnement logique et des règles établies (propriétés, théorèmes, formules) pour parvenir à une conclusion » ainsi que « fonder et défendre ses jugements en s’appuyant sur des résultats établis et sur sa maîtrise de l’argumentation. » Démontrer c'est aussi « "donner à voir" les différentes étapes d’une preuve par la présentation, rédigée sous forme déductive, des liens logiques qui la sous-tendent. » des  (DGESco 2016 p.1)

Les mots preuve, démonstration, argumentation sont ainsi utilisés par les textes des programmes de mathématiques et leurs commentaires. Cet usage affirme le caractère central de la démonstration, « moyen mathématique d'accès à la vérité », dans l'apprentissage des mathématiques. Il atteste aussi la difficulté de son enseignement car « [pour] ne pas détourner de la résolution de problèmes les élèves ayant des difficultés à entrer dans les codes de rédaction d’une démonstration, il importe de valoriser les productions spontanées, écrites ou orales, issues des phases de recherche et d’expérimentation (calculs seuls, croquis destinés à comprendre l’exercice, idées de preuve, plan de preuve, etc.). » (DGESco 2016 p.4)

ARDM

J'ai choisi, pour répondre à l'invitation du séminaire national de didactique des mathématiques, d'interroger les avancées de la recherche sur l’apprentissage et l’enseignement de la démonstration et leur capacité à éclairer la mise en œuvre des programmes actuels. Je reviendrai, en introduction, sur le vocabulaire en insistant notamment sur les différents régimes de la validation dans l'activité de l'élève. Puis j'aborderai ces questions dans la problématique de la validation au sens de la théorie des situations didactiques. Les principaux thèmes seront l’articulation entre preuve et connaissance en évoquant brièvement le modèle ck¢, et la relation entre démonstration et argumentation. Une dernière partie portera sur les perspectives ouvertes par les technologies informatiques.

Séminaire national de didactique des mathématiques - ARDM
Paris, 18 novembre 2017 
 

Cliquer [ici] pour obtenir le programme du séminaire national de didactique des mathématiques. Paris, samedi 18 novembre 2017

A note on Bourbaki's definition of function, in the context of Anna Sfard characterization of conceptions

The Ana Sfard influential article published in Educational Studies in Mathematics in 1991 on the dual nature of mathematical conceptions is still important to read. I recently came back to this paper while working on the conceptions of function using of the modelling framework cK¢.  Indeed there is a difference in our approaches since her approach of Ana Sfard, defining a conception as the mental counterpart of a concept, the latter being the official form of a "mathematical idea". This meaning of "concept" seems close to the usual meaning of the French word " savoir", and far from the one adopted for cK¢ -- but this is another discussion. On the other hand both approaches have in common the recognition of methodological constraints: we have no choice in order to make sense of the formation of abstract (mathematical) objects but to describe them in terms of such external characteristics as student’s behaviours, attitudes and skills (Sfard 1991 p.19).

Anna Sfard distinguishes two types of conception, operational and structural. The former is characterized in terms of processes, algorithms and actions, while the latter is "treating mathematical notions as if they referred to some abstract object" (ibid. pp.3-4). The methodological constraints gives an advantage to evidencing operational conceptions but make it delicate for structural conceptions. Following Anna Sfard, a critical indicator of the presence of a structural conception is the capacity to recognize an idea "at a glance" and "to manipulate it as a whole, without going into details" (ibid. p.4).  This emergence of a structural conception would be empirically reflected by the "attempts at translating  operational intuition into structural definition" (ibid. p.15).  Anna Sfard sees the most achieved state of development of the conception of function in "the now widely accepted, purely structural Bourbaki's definition. This simple description presented function as a set of ordered pairs and made no reference whatsoever to any kind of computational  process." (ibid. p.15)

The initial ambition of the founders of the Bourbaki group [1], was to write a treatise for the teaching of calculus (incidentally claimed to be accessible to a not so smart student obliged to work alone [2]). There is no question about the structural character of the Bourbaki’s conception of function; however its characterization by Anna Sfard (ibid. p.5 Fig.1) as "Set of pairs (Bourbaki 1934)" is a bit short. Indeed, ordered pair should have been written here instead of pair, but there is more to say. The definition of function appears in the Set theory book (ST) where it emerges, so to say, from the definition of functional relation which is a restriction of the definition of relation: 

"Let R be a relation in C  [equalitarian theory]. The relation "(ⱻx)R and there exists at most one x such that R" is denoted by "there exists exactly one x such that R". If this relation is a theorem in C, R is said to be a functional relation in x in the theory C." (ST p.48)

Then function is further defined as a set of ordered pairs under a specific condition: 

"A graph F is said to be a functional graph if for each x there is at most one object which corresponds to x under F (Chapter l, § 5, no. 3). A correspondence f= (F, A, B) is said to be a function if its graph F is a fonctional graph and if its source A is equal to its domain pr₁F. In other words, a correspondence f = (F, A, B) is a function if for every x belonging to the source A of f the relation (x, y)∈F is functional in y (Chapter l, § 5, no. 3); the unique object which corresponds to x under f is called the value of f at the element x of A, and is denoted by f(x) (or f_x, or F(x), or F_x)." (ST p.81)

By the way, the contemporary teacher may interpret the graph as a curve, and the condition as the perpendicular line criterion which is often associated to the characterization of function in Anglo-Saxon curricula. In an informal way, Bourbaki accepts here to aggregate functional relation and functional graph in one single concept: "Throughout this series we shall often use the word "function" in place of "functional graph"." (ST p.82).

Eventually, Bourbaki comes back to all definitions in the “Summary of results” of the Set theory book, with the idea of fixing terms which will be used in the remainder of the series of the treatise. He adds the following caveat as a footnote:  "The reader will not fail to observe that the "naïve" point of view taken here is in direct opposition to the "formalist" point of view taken in Chapters 1 to IV. Of course, this contrast is deliberate, and corresponds to the different purposes of this Summary and the rest of the volume." (ST p.347). The following definition of function is proposed in this context:

"Let E and F be two sets, which may or may not be distinct. A relation between a variable element x of E and a variable element y of F is called a functional relation in y if, for all x∈E, there exists a unique y∈F, which is in the given relation with x. We give the name of function to the operation which in this way associates with every element x∈E the element y∈F which is in the given relation with x; y is said to be the value of the function at the element x, and the function is said to be determined by the given functional relation." (ST p.351) 

This definition bridges the naïve (in the Bourbaki sense) understanding of function with its formal characterization. However, the word "variable", which didn't appear before in the book, is here an adjective which meaning is fixed in the first section of the Summary of results:  "variable element" means "arbitrary element" (ST p.347). By denoting "the operation", the word "function" keeps some contact with what Anna Sfard (1991 p.15) refers to as "its intuitive origin". It is close to the prototypical example of operational conception she gives in the [Fig.1] of her article, quoting Richard Skemp: "well defined method of getting from one system to another" (or computational process).

The Bourbaki construction provides an example of an explicit link between the Anna Sfard structural and operational conceptions of function. From a different perspective, it illustrates well the claim that “the terms "operational" and "structural" refer to inseparable, though dramatically different, facets of the same thing." (Sfard 1991 p.9). In this quick record of the Bourbaki enterprise to define "function", we see the coherent and explicit integration of different connotation: functional relation, functional graph, operation. In naïve words, they are facets of an object which are unified by the formal construction.  This notion of object can be easily related to that of high-level interiorization proposed by Anna Sfard.

Linking ck¢ and the Toulmin model

An original theoretical as well as methodological aspect of Bettina Pedemonte PhD work, was to use the Toulmin schema in relation with a knowledge model in the framework of the Theory of Didactical Situations. We have recently revisited this work and produced  a synthesis of this important outcome. This has led to a paper recently published in the Journal of Mathematical Behavior, in which we analyze students’ conceptions in geometrical problem-solving and their relations to proving. We show how students’ conceptions strongly impact the argumentation activity and the construction of a proof. This is illustrated by analyzing two pairs of students’ argumentations and proofs taken from a set of data collected from a teaching experiment. The use of the Toulmin's model enriched with the ck¢ model allows to elicit the complexity of a cognitive analysis of argumentation and proof that accounts for the students’ knowledge system. Toulmin's model is useful to select those elements in the argumentation that are part of students’ conceptions while ck¢ allows us to see the role they have inside the argumentation.
[click on the cover to get a free copy within the 50 coming days]

cKȼ, origine, cadrage théorique, utilisations et questions (la vidéo)

Voir [ici] le résumé de la commande du laboratoire de didactique André Revuz (LDAR) à laquelle répond l'exposé que l'on pourra suivre en visionnant la vidéo ci-dessous, et [là] pour un résumé plus substantiel.

Enregistrement vidéo de l'exposé présenté au séminaire du laboratoire LDAR
Vendredi 10 avril 2015, 14h-17h

Calculus, a cK¢ perspective on learners understanding

On the occasion of the international meeting on learning and teaching calculus to be held in Mexico in September 2015, I will address the problem of understanding and modelling students conceptions in this domain.
I will introduce the keynote by a survey of the recent book from Gilbert Arsac about the birth of Uniform convergence and the role played by Cauchy. Then I develop the case of understanding learners conceptions of function. The objective of this talk is to present, taking Calculus as an example, the use of the cK¢ modelling framework and discuss its effectiveness. A workshop may be organized to discuss the relevance and the technicalities of the approach in the case of the research carried out by the audience.

(Long version of the) slides-show in support to the keynote

cKȼ, origine, cadrage théorique, utilisations et questions

Merci au laboratoire de didactique André Revuz (LDAR) pour m'avoir donné l'occasion de préciser le modèle de connaissance cKȼ, sa place dans le paysage didactique et de donner des exemples de son utilisation. Le support l'exposé est maintenant disponible sur le site de Slideshare et ci-dessous :

cKȼ (pour conception, connaissance, concept) est un modèle construit pour formaliser une représentation du couple sujet/milieu dans le cadre de la théorie des situations didactiques. J'avais déjà eu l'occasion d'en présenter les objectifs et les principaux aspects lors d'un cours donné à l'école d'été de didactique des mathématiques en 2003. Le texte de ce cours rédigé avec le soutien actif de Claire Margolinas est maintenant disponible en ligne [ici].

Une première section de mon exposé rappelle l'usage pragmatique du mot "conception" en didactique des mathématiques et le sens que nous lui attribuons dans nos travaux [Artigue 1989]. Je fais ensuite quelques rappels sur la théorie des situations didactique avant de préciser la construction du modèle dont les premiers éléments sont repris de la formalisation de "concept" proposée par Gérard Vergnaud.
   Une première illustration, pour laquelle je reprends les diapositives d'un exposé à PME-NA en 2013 [voir], met en œuvre cKȼ pour caractériser des conceptions de l'addition (composante algorithmique) en mettant bien en évidence ce qui relève de la sphère de pratique, des opérateurs et des contrôles en lien étroit avec les représentations.
   L'illustration suivante est une relecture d'une ingénierie didactique utilisée dans le cadre de mes premiers travaux sur la preuve à propos de la somme des angles d'un triangle. On trouvera une présentation détaillée de cette ingénierie [ici]. Cet exemple permet de montrer comment cKȼ peut faciliter l'analyse a priori et la détermination du jeu sur les contraintes de la situation pour permettre l'évolution d'une conception vers une autre, cette dernière étant une modélisation de l'enjeu d'enseignement.
   Le modèle a été utilisé explicitement pour la première fois dans le cadre de la thèse de Salima Tahri au début des années 90. Il s'agissait d'étudier les décisions d'enseignants pour piloter un apprentissage en géométrie. Nous nous sommes appuyés sur cKȼ pour décrire les conceptions et l'espace de problèmes (construction du symétrique d'un segment, travaux de Denise Grenier), et construire un environnement dans lequel les enseignants devaient diagnostiquer l'état de connaissance des élèves et décider des feedback qui pourraient au mieux permettre leur évolution.
   J'ai ensuite présenté quelques aspects du projet Baghera qui, au début des années 2000, a été la première mise à l'épreuve du modèle sur l'un de ses objectifs : permettre le diagnostic de conceptions pour ensuite calculer des situations d'apprentissage pilotées par un dispositif informatique. On trouve une présentation détaillée de ce projet dans un rapport préparé par Sophie Soury-Lavergne dans le cadre d'un projet européen éponyme [voir]. Ce projet fortement pluridisciplinaire, associant didactique des mathématiques et informatique, et au sein de l'informatique démonstration automatique et systèmes multi-agents, n'a pas pu être poursuivi. Il a cependant montré un bon potentiel et a connu une suite avec la reprise des idées de Baghera à Barcelone par Josep Fortuny et Philippe Richard dans le cadre du projet AgentGeom.
   Je reviens ensuite vers une problématique plus classique de la didactique des mathématiques en citant le travail conduit par Vilma Mesa à Michigan qui a utilisé cKȼ pour analyser des manuels (premiers apprentissages de la notion de fonction). Ce travail de recherche, qui a conduit à une thèse [voir]. L'analyse de Vilma Mesa ne porte pas directement sur les conceptions mais sur celles que les problèmes posés par les manuels pourraient favoriser, il atteste de fait de la dualité conception/problème. Le modèle permet de caractériser les problèmes en termes de connaissance. Cette dualité conception/problème étaient induite par la formalisation et proposée dans le cours de 2003.
   La dernière section de l'exposé revient sur le travail sur l'argumentation et la preuve, pour montrer le caractère instrumental du modèle pour lier preuve et connaissance en s'appuyant sur l'analyse des contrôles. Cet aspect fait actuellement l'objet d'un travail avec Bettina Pedemonte qui propose de construire un cadre d'analyse de l'argumentation en didactique en associant le schéma de Toulmin et cKȼ.
   Je ne pouvais conclure sans évoquer la TAD et notamment les travaux de Marie-Caroline Croset et Hamid Chaachoua pour apporter dans ce cadre une réponse au problème de la modélisation de l'apprenant. Ce problème n'est pas posé de façon naturelle par la TAD et peut même paraître hors sujet si l'on se souvient des principes qui guident l'approche anthropologique du didactique. Il s'impose cependant de façon "pratique" pour lier rapport institutionnel et rapport personnel de façon opérationnelle. Le concept de praxéologie personnelle (initialement praxis-en-acte chez Croset 2010)  peut être une solution, sa relation avec le modèle cKȼ vaut d'être examinée (comme celle de la TSD avec la TAD). Mais ce travail reste à faire.

cKȼ, un modèle de connaissance : spécificité et utilisations

Le laboratoire de didactique André Revuz (LDAR) m'a invité dans le cadre de son séminaire avec un objectif très précis : expliquer les spécificités du modèle de connaissance cKȼ dans le paysage didactique et donner des exemples de son utilisation.  Le résumé de présentation de ce séminaire est tout simplement l'explicitation de cette demande :

"Plusieurs approches théoriques de la connaissance sont mises en oeuvre au sein du laboratoire LDAR, dont des modèles de conceptions, mais les discussions ou exposés à propos de cKȼ soulignent deux difficultés : comprendre les articulations entre cKȼ et les autres approches théoriques, et comprendre ce qu'apporte son utilisation --- en d'autres termes, la question qui se pose est celle de ce qu'on peut attendre de ce modèle en temps que chercheurs. Ces questions semblent plus fortes que des problèmes liés à la technicité du modèle, à proprement parler. Il peut donc être intéressant, et c'est ce que va être tenté, de préciser les hypothèses aux fondements de cKȼ (quel sujet est concerné, quelles hypothèses sur la connaissance...), ses finalités, ainsi que des usages dans différentes directions, permettant de voir son utilisation "en situation" et de cerner ses apports."

L'exposé en cours de préparation comprendra trois parties : (1) la problématique du modèle cKȼ dans le cadre de la théorie des situations didactiques, (2) les hypothèses sous-jacentes à la construction du modèle, (3) la situation du modèle par rapport à d'autres modèles ou théories incluant les problématiques de modélisation de l'apprenant en informatique, (4) une discussion du modèle y compris celle des apports qui pourraient être portés à son crédit.

Le séminaire aura lieu le Vendredi 10 avril 2015, 14h-17h Salle 247E, 2e étage - bât. Halle aux Farines, Paris 13e

Le contenu de l'exposé est pour une part bien décrit dans : Balacheff N., Margolinas C. (2005) cK¢ Modèle des connaissance pour le calcul de situation didactiques. In : Mercier A. & Margolinas C. (eds.) Balises pour la didactique des mathématiques. (pp.1-32). Grenoble : La Pensée Sauvage.

Dessin, figure et objet en géométrie

Révisé 08/05/2014

Le problème d'enseignement est connu, probablement aussi ancien que la géométrie elle-même : l'élève raisonne sur ce qu'il voit tracé sur sa feuille comme s'il s'agissait de l'objet géométrique lui-même, aussi lui attribue-t-il souvent des propriétés anecdotiques liées au tracé particulier qu'il a sous les yeux, ou des propriétés de stéréotypes forgés dans les habitudes de représentation silencieusement établies dans la classe. Il faut se méfier de ce que le dessin révèle d'une figure géométrique... aussi, alors que la langue courante considère le plus souvent "dessin" et "figure" comme synonymes pour leur acception scientifique ou technique, les didacticiens proposent-ils de distinguer précisément ces deux termes.

Le CNTRL donne pour "dessin" la définition : "Représentation linéaire de la forme des objets, qui s'exécute à des fins scientifiques, techniques ou industrielles" [*], et pour "figure" la définition : "Ensemble de points, droites, plans, représenté en vraie grandeur ou en perspective, objet d'études mathématiques ou support graphique d'un raisonnement en mathématiques ou dans d'autres sciences" [*]. 

En fait, le mathématicien envisageant une figure géométrique, pense à celle-ci en termes de ses propriétés définitoires et n'évoque le dessin que comme une représentation particulière intéressante pour sa valeur heuristique ou pour exprimer des caractéristiques plus complexes à énoncer en langue naturelle ou symbolique. C'est la raison pour laquelle des chercheurs en didactique ont choisi de forcer la distinction en formulant des définitions différentes, mais reliées, de "dessin" et "figure".

Bernard Parzysz [*] notamment, a proposé de définir "figure" comme étant l'objet géométrique décrit par le texte qui le définit, et "dessin" comme l'une des représentations matérielles possibles de cet objet.  Cette proposition consiste, en fait, à mettre en relation, articulées sur le même objet géométrique invoqué, deux représentations de natures différentes en attribuant à l'une d'entre elles, "le" texte, une fonction définitoire. Pour reprendre les termes de Duval [*], la solution proposée revient en fait à juxtaposer deux représentations sémiotiques, l'une discursive (le texte descriptif) et l'autre non discursive (le dessin matériel). Malheureusement, dans une perspective didactique, le problème reste entier : si les élèves sont confrontés à deux représentations d'un objet géométrique, comment peuvent-ils les situer l'une par rapport à l'autre, et chacune relativement à l'objet géométrique auquel renvoie le problème qui leur est posé. Le texte, comme le dessin, est un signifiant qui dénote un objet géométrique mais ne se confond pas avec lui.

Une solution pour dépasser cette difficulté et rendre compte d'une différence de nature entre "dessin" et "figure", en préservant une relation forte, est proposée par Laborde et Capponi en se plaçant dans le cadre général de la sémiotique saussurienne qui articule référent, signifiant et signifié :

"En tant qu'entité matérielle sur un support, le dessin peut être considéré comme un signifiant d'un référent théorique (objet d'une théorie géométrique comme celle de la géométrie euclidienne, ou de la géométrie projective). La figure géométrique consiste en l'appariement  d'un référent donné à tous ses dessins, elle est alors définie comme l'ensemble des couples formés des deux termes, le premier terme étant le référent, le deuxième étant l'un des dessins qui le représente ; le deuxième terme est pris dans l'univers de tous les dessins possibles du référent. Le terme figure géométrique renvoie dans cette acception à l'établissement d'une relation entre un objet géométrique et ses représentations possibles." (Laborde et Capponi 1994 pp.168-169)

En somme, et c'est là tout l'intérêt de cette idée, la figure est une classe d'équivalence de dessins à laquelle on accèdera par l'un de ses (bons) représentants comme cela se fait classiquement en mathématique. Encore faudra-t-il ne pas confondre la classe et son représentant, ce à quoi on sait bien que nos étudiants sont prompts. Mais, le vrai problème est ailleurs, dans la dernière phrase de la citation précédente et le renvoie, un peu avant, au "référent donné". Quel est ce référent ? Il s'agit, bien sûr, de l'objet géométrique qui a justement bien du mal à s'imposer comme référent parce que, sujet de l'idéalité mathématique, il échappe largement aux tentatives de matérialisation. De plus, invoquer la classe de tous les dessins ne résout pas le problème car cette classe est par nature indéfinie et potentiellement infinie. 

Il faut s'y résoudre, l'objet géométrique échappe à la représentation ou ne s'y soumet que partiellement, en tout cas toujours au risque d'un malentendu. Que faire... une perspective de solution est ouverte par Gilles-Gaston Granger, qui suggère qu'en mathématiques...

"l'objet n'est [...] rien d'autre ni rien de plus que l'invariant, ou le support, d'un système d'opérations. Degré zéro du contenu, cet invariant n'est pas décrit : il n'apparait pour ainsi dire que comme un creux, si l'on tente en vain de le détacher du système opératoire." (Granger 1994 p.41)

Ce que nous pourrions reformuler en disant que l'objet géométrique est un référent abstrait (idée, signifié) dont la nature est sans cesse saisie et questionnée par l'ensemble des représentations qui lui sont associées et des actions (système opératoire) mises en œuvres sur ces représentations lors de la résolution de problèmes ou l'accomplissement de tâches l'invoquant. Nous n'avons de l'objet géométrique qu'une conception caractérisée par  la donnée simultanée et reliée des systèmes de représentation, des ensembles d'actions et des problèmes qui l'invoquent. On reconnait là la caractérisation d'un concept de Gérard Vergnaud. Pour ce qui est des solutions proposées initialement par Parzysz, Laborde et Capponi, on peut remarquer que le texte descriptif associé à un objet géométrique est la meilleure caractérisation dont on dispose de la classe des dessins (matériels) qui lui seraient associés. Ces deux caractérisations peuvent donc être rapprochées, ce que nous proposons de faire en les complétant par celles des problèmes dans lesquels les représentations et les actions correspondantes sont opératoires et valides. Le cadre de modélisation cK¢ peut contribuer à mettre en forme cette solution et à la rendre opérationnelle pour fournir des outils pour la conception de situations d'apprentissage en géométrie.

Bridging knowing and proving

The learning of mathematics starts early but remains far from any theoretical considerations: pupils' mathematical knowledge is first rooted in pragmatic evidence or conforms to procedures taught. However, learners develop a knowledge which they can apply in significant problem situations, and which is amenable to falsification and argumentation. They can validate what they claim to be true but using means generally not conforming to mathematical standards. Here, I analyze how this situation underlies the epistemological and didactical complexities of teaching mathematical proof. I show that the evolution of the learners' understanding of what counts as proof in mathematics implies an evolution of their knowing of mathematical concepts. The key didactical point is not to persuade learners to accept a new formalism but to have them understand how mathematical proof and statements are tightly related within a common framework; that is, a mathematical theory. I address this aim by modeling the learners' way of knowing in terms of a dynamic, homeostatic system. I discuss the roles of different semiotic systems, of the types of actions the learners perform and of the controls they implement in constructing or validating knowledge. Particularly with modern technological aids, this model provides a basis designing didactical situations to help learners bridge the gap between pragmatics and theory.

Talk at the conference "Explanation and Proof in Mathematics:
Philosophical and Educational Perspective"
held in Essen in November 2006

Balacheff N. (2010) Bridging knowing and proving in mathematics An essay from a didactical perspective. In Hanna G., Jahnke H. N., Pulte H. (Eds.) Explanation and Proof in Mathematics. pp.115-135. Springer.
Author preprint available from HAL and arXiv.

cK¢ takes up the challenge of modeling learners understanding (a response to Guershon Harel - continued)

Several of the questions Guershon Harel [*] asked after my talk at the PME-NA conference in Chicago concern the scope and objectives of the cK¢ modeling framework. In this post, I take each of these questions and give a short answer leaving for specific posts more elaborated answers when needed. So, here it is:

4. Is the cK¢ a model of learning processes or learning states?

The answer is very simple: cK¢ provides a framework for modeling learning states. Indeed learning processes are of a paramount importance, but they are in my opinion more an object of study for psychology than for mathematics education. Indeed, I don't confuse "learning processes" which are of a mental and intellectual nature, and "problem solving processes" which correspond (to make it simple) to the activity the learner engage when he or she has to solve a problem in a given situation. We need to understand and model these processes, but even if they may inform us about learning processes they are only a dimension of them.

5. Is the cK¢ a model of a learner (period), a model of a learner learning mathematics, or a model of a learner in a mathematics classroom setting?

cK¢ provides a framework to model learners' understanding (learning states, as just said) in mathematics from a situated perspective; situations may be set up within a classroom or in an other context. Actually, the objective is slightly larger, I would claim that cK¢ is a framework to model mathematical understanding taking into account the situational characteristics, not being restricted to learners. A key idea when I started the project was to find a way to model mathematical conceptions with the same tools, be it they conceptions of novices or experts, wrong or correct from whatever knowledgeable perspective.

6. What exactly are the challenging aspects of modeling learning relative to modeling content and pedagogy? 

Anyone will expect the content to be in some sense "correct" and explicit enough to be defined precisely as a content to be taught. Still, there are challenging aspects related to its nature; for example, to model algebra or geometry from an epistemic and teaching perspective is not of the same level of difficulty.
Concerning pedagogy, which is in the first place the product of a practice, the related knowledge is largely implicit. Practitioners can share and discuss their expertise within their community or with teacher students in an apprenticeship approach, but the communication register is largely based on a pragmatic co-construction of meaning referring to a shared practice; as a result it is difficult to model. The challenge is to make explicit what is largely knowledge in action. However, there are progresses as witnessed by research on tutoring and adaptive learning systems.
In line with what I wrote before, I will not consider learning but "the best conditions for learning" (best or optimal). So, I would consider the question: what are the challenging aspects of modeling (determining) the best conditions for learning compared to those of modeling content and pedagogy? I would say that these challenges are very close the one to the other. First, part of the challenge comes from the nature of the content at stake, in particular the role of representations and the complexity of validating the related mathematical statements. Arithmetic, algebra, geometry, calculus, probability, discrete mathematics raise their own specific learning challenges within mathematics. Then, determining the best conditions for learning requires knowing some critical things about the initial state of knowledge of the learners (as a matter of fact, we can only teach people who know); in other words it depends on our knowledge of the conceptions which have to evolve or to be rejected. Eventually, one can say that the challenge is of knowing the knowledge at stake from a learning perspective, understanding learners initial understanding, and being able to design situations likely to stimulate, support and validate the construction of new knowledge. Eventually, modeling pedagogy consists in stating principles for designing situations which implements the "best conditions for learning" under multiple constraints: curricula, institutional standard, cultural and economical environment, time and all material means to make the class working properly.

7. What are the interdependent relationships among these three models? 

Indeed, as the above answers suggests it, the three models are tightly related. In particular, from an educational perspective modeling knowledge is under learning constraints because what we need is not a "knowledge model" for itself but a model of the intended learning outcomes. This knowledge (intended learning outcomes) must be learnable (accessible to learners) and teachable (manageable by teachers); actually, the objective of the didactical transposition is exactly to produce this knowledge which is always at a distance from a knowledge of reference which to some extend justify it. 

8. What is the efficacy of such models if they are constructed independently from each other? In particular, can models of content and pedagogy be viable without the presence of a learning model?

Be it explicitly the case or not, any pedagogical model includes a learning model; I mean a model of the (claimed) best conditions for learning. 

Then, a more philosophically oriented, yet critical, question is

9. Are cognitive models of thinking possible?

Once we have agreed on what means "cognitive", "model" and "thinking" my answer would be: yes... but a discussion of this answer may go far beyond my field of expertise and beyond the scope of this blog as well.

Conceptions et situations

La place de la recherche sur les connaissances des élèves n'est pas tout à fait claire en didactique et est parfois contestée. En témoignent les vifs échanges entre psychologues et didacticiens dans les années 80, années fondatrices de la didactique des mathématiques. Pourtant l'étude de ces connaissances pour leur compréhension et leur modélisation est inséparable de celles engagées dans le cadre de la théorie des situations didactiques, c'est dans ces termes que Guy Brousseau l'évoque dans l'article qu'il publie dans le premier numéro de la revue Recherches en Didactique des Mathématiques alors qu'il déplore que les travaux de Diénès ne conduisent pas le didacticien à "questionner les mathématiques pour y chercher, au-delà des structures, les concepts et au-delà des concepts, éventuellement les conceptions qui pourraient se forger chez un sujet dans des situations historiques ou didactiques particulières."
Il poursuit :

"L'analyse de ces conceptions, qu'il faudra que l'élève possède ou évite, est inséparable de celle de la famille des situations spécifiques où elles prennent leur fonction et utilité. Toutes les deux sont inévitables dans toute entreprise qui prétendrait à la fois fournir une théorie dotée de ses méthodes de confrontation (probablement spécifiques aussi) et de techniques didactiques continument contrôlable par les enseignants" (Brousseau 1980 RDM 1.1 p.46)

Dans le même volume (p.80) Régine Douady insiste :

"Le problème didactique est de reconnaitre et décrire, à travers les actions et démarches des enfants placés dans une situation d'apprentissage, les modèles mathématiques qui expliquent, justifient ces actions et démarches."

En d'autres termes, la proposition de Douady est de produire des modèles mathématiques des conceptions dont Brousseau pose qu'elles sont indissociables des situations. Il faut entendre ici situation au sens de ce qui va, dans l'interaction entre l'élève et le milieu, être la source de problèmes mobilisateur des conceptions. Ces conceptions pouvant être, dans une perspective mathématique, erronées ou inadaptées et ce qui fait problème étant finalement largement déterminé par les conceptions initialement disponibles, la production de modèles tels qu'évoqués par Douady est un défi. C'est celui que relève la proposition de modélisation cK¢ notamment en formalisant la dualité entre problèmes et conceptions.

cK¢ is not a cognitive model (a response to Guershon Harel)

The first question Guershon Harel [*] asked about cK¢ is

3. To what extent is the cK¢ a cognitive model?

Actually, this question comes after a more general one: (1) "What is a cognitive model and what are its purposes?" and a more direct one (2) "Is the cK¢ a cognitive model?
My response is very simple and direct:

cK¢ does not propose a framework to construct cognitive models. It does not pretend to model an "approximation to processes of humans’ mental activities" and do not ambition to be "capable of explaining mental processes or interactions among them", eventually it does not aim at answering a specific question such as "how do we learn to categorize perceptual objects?"

Yet, cK¢ has a very strong relation to the learner by being focused on his or her interaction with a learning environment (more precisely the "milieu"). Indeed, cK¢ could contribute to a cognitive approach, but it is not its objective in the first place.

Based on the evidence we can get from the learner's activity, the objective is to characterize it in terms intelligible from a mathematical perspective and which can serve as inputs to take teaching decisions. Two types of evidence are easy to get: representations manipulated by the learner and operators he or she uses in order to achieve a task or to solve a problem. Actually, these operators are not always explicit but it is not impossible to have an interpretation of the learner's behaviours which makes sense from a mathematical perspective (this corresponds to the Vergnaud coup de force when he coined the concept of "theorem in action"). It is then reasonable to claim that we have a picture of the learner understanding when these representations and operators are stable within a problem-space. This has to be completed by a description of the means the learner uses to take a decision about the validity of his or her activity and the related outcomes. It is the idea of the control structure. Once we have a characterization along these four dimensions, we can conjecture a mathematical meaning, but this does not tell what are the related mental activities or cognitive structures as psychology or neuroscience would understand them. It is very likely that different learning theories would shade different lights on these characterizations. However, my claim is that such characterizations are sufficient to assess the so-called mathematical understanding, and to take teaching decisions or  to design learning environments.

For the rest, cK¢ shares many of the scientific characteristics of "cognitive models": it is based on "rigorous methods", it is "capable of generating testable predictions" and of generating descriptions in "formal, mathematical or computer, languages". It does not describe processes but  nothing prevents it a priori to contribute to such descriptions, this is something to explore.

Eventually, it is important to realize that cK¢ does not ambition to construct models to respond to the question "How does a child transition from additive reasoning to multiplicative reasoning?" but to the question "What are the optimal conditions to initiate and support the child transition from additive reasoning to multiplicative reasoning?"

cK¢ , the Chicago talk and Guershon Harel questions

cK¢, a model to reason on learners' conceptions 
 

This presentation at PME-NA 2013 was followed by comments and questions from Guershon Harel on the invitation of the conference organisers.  I publish below with Guershon's permission his reaction on the talk, and will respond to his questions in coming posts on this blog.

Questions Inspired by or Generated from the cK¢ Model Presentation
Guershon Harel, University of California at San Diego

I would like to thank the program committee for inviting me to react to Nicolas Balacheff’s plenary talk. I have known Nicolas for many years, both professionally and personally. I feel honored to have the opportunity to react to his work.
A fundamental human nature is that not only do humans seek to resolve puzzles, but also they seek to be puzzled. Scholarly work, thus, is judged not only by the questions it answers but also by the questions it generates. Nicolas’ paper—of which the talk you have just heard is part—does exactly that: It addresses fundamental questions about learning and thinking and at the same time generates new questions.
A strong feature of Nicolas’ work, in general, and of this paper, in particular, is its attempt to define concepts and ideas rigorously. This puts the reader in a mood to follow suit, by asking questions of rigor as well.
What I will do in the time allocated to me is to share with you some of the questions Nicolas’ paper generated for me as I tried to build a coherent image of the cKc model. It is possible that the image I constructed is entirely idiosyncratic, not coinciding with the image—or better say conception—intended by Nicolas.
Whatever the case may be, I highlight that the sole purpose of the questions I present before you now, is to generate discussions, with the hope that they would further understanding, generate research studies, and advance effective classroom implementations of the cKc model. Balacheff’s paper is about a “[cognitive] model of a learner”. The adjective “cognitive” is important here to differentiate it from other types of models. So, following the rigorous style of the paper, the first question one might ask is:

1. What is a cognitive model and what are its purposes?

Briefly, and aggregately, the essential characteristics of “cognitive model”, as they appear in the literature include the following:

a. Cognitive models are approximation to processes of humans’ mental activities, such as attention, understanding, inferencing, decision making, etc.
b. They are derived from basic principles of cognition, such as a particular theory of learning.
c. They are based on rigorous methods of elicitation of cognition.
d. They are capable of explaining mental processes or interactions among them.
e. They are capable of generating testable predictions, both quantitative and qualitative.
f. They are described in formal, mathematical or computer, languages.
g. They aim at answering a specific question; for example: how do we learn to categorize perceptual objects? Such as:

i. How does a student learn to categorize problems according to their mathematical structure?
ii. How does a child transition from additive reasoning to multiplicative reasoning?
iii. How does one learn to categorize paintings according to the periods to which they belong?

h. They may target cognitive processes or cognitive states.

For example, the question, “What are humans’ categories of perceptual objects?” is a question about product rather than process. Likewise, the question “What are students’ proof schemes?” is a question about state, not process.
To illustrate the difference between these two types of models, I mention two examples of works many of you are familiar with. These are the seminal works of Marty Simon and Jere Confrey. What sets the research programs of Marty and Jere apart from many other works is their focus on the mechanisms that account for conceptual learning: namely, the transition from one conceptual state to another.
So relative to this background and characterizations, the questions one might ask about the cK¢ model are:

2. Is the cK¢ a cognitive model?

Or less rigidly,

3. To what extent is the cK¢ a cognitive model?

4. Is the cKc a model of learning processes or learning states?

Furthermore, given the unique nature of the mathematics discipline among the various disciplines, and given the complexity of the classroom setting, in general, and that of mathematics classroom, in particular,

5. Is the cK¢ a model of a learner (period), a model of a learner learning mathematics, or a model of a learner in a mathematics classroom setting?

As mathematics educators, we are most interested in the interactions among the three models outlined by Balacheff: the model of the learner, the model of the content to be learned, and the model of pedagogy. Nicolas indicates “For the last two [models], research has constantly been very active with some promising progress. On the contrary, modeling the learner proved to be a real challenge.” Two questions of interest, though they perhaps go beyond the scope of the paper, are:

6. What exactly are the challenging aspects of modeling learning relative to modeling content and pedagogy?
7. What are the interdependent relationships among these three models?
8. What is the efficacy of such models if they are constructed independently from each other? In particular, can models of content and pedagogy be viable without the presence of a learning model?

A more philosophically oriented, yet critical, question is

9. Are cognitive models of thinking possible?

This question is derived from the third characteristic of mental models I listed earlier; namely, a mental model is based on a rigorous method of elicitation of cognition. This characteristic is particularly problematic. Here is why. The cK¢ is a model of learning/thinking. As was pointed out by Colin Eden, “if we take seriously Karl Weick’s aphorism that we do not know what we think until we hear what we say, then the process of articulation—that is, the learner’s utterances and behaviors that constitute the data for the construction of the model—is a significant influence on present and future cognition. Since articulation and thinking interact, as is largely accepted, then an elicitation of cognition that depends upon articulation is always out of step with cognition before, during, and after the elicitation process.”

Even if we overcome this philosophical hurdle, an empirical question emerges:

10. To what extent can a general learning model be viable, given human diversity of character, culture, and circumstances?

The fourth component of the cK¢ model is control. Balacheff characterizes control under the general umbrella of metacognitive behaviors. The control component is crucial, and is Balacheff’s significant addition to Vergnaud’s model. It is crucial because it is the place where issues of the learner’s understandings are to be revealed. The set of four examples Balacheff discusses to illustrate the cK¢ models are illuminating, but I still found myself wanting to better understand the cK¢’s definitions and treatment for crucial control constructs such as understanding, meaning, and ways of thinking.

These are crucial constructs with various instantiations. For example, when we talk about “understanding” and “meaning”, we—researchers and teachers—want and need to distinguish, for example, between “understanding in the moment” and “stable understanding”, and between “meaning in the moment” and “stable meaning”. Likewise, we want and need to observe ways of thinking, or habitual anticipations of meanings, both desirable and undesirable. Thus, it is natural to ask:

11. What are “understanding,” “meaning,” and “way of thinking” for the cKc model, and what is a reliable methodology to elicit them?

12. What is “Problem” for the cK¢ model?

Recall that Balacheff’s definition of “conception” is a quadruplet (P, R, L, Σ). Balacheff recognizes that the first component, Problems, is problematic; namely, he faced the question as to how to characterize the set of the problems for a particular conception. After considering two possible characterizations, one by Vergnaud and one by Brousseau, Balacheff describes P as a set of problems prototypical to the field to which the conception belongs. This characterization raises theoretical, methodological, and instructional questions.

Specifically, the cK¢ model postulates that problems are the source and the criteria of learning and knowing. And following Vergnaud and Brousseau, problems are also held as the engine of the teaching process. A consequence of these largely agreed upon positions is that the cK¢  hinges upon the school prototypical problems one chooses to elicit conceptions.

The difficulty that arises here is that many of these prototypical problems are alien, not intrinsic, to the students. The students might be able to solve them, but the kinds of perturbations they engender with the students are didactical, aimed solely at satisfying the will of the teacher. Thus:

13. If the problem is alien to the learner, what meaning can a researcher give to the operations and control components of the model?
14. How is to be determined by researchers, and more importantly by teachers, whether the problem posed to elicit conception is intrinsic or alien to the learner, and how does this determination effect the observer’s conception of the learner’s conception?

The Problem component is also a crucial factor in Balacheff’s definition of generality. Generality is one of the factors in the cK¢ model shaping relations between conceptions. As such, it is crucially important, for the simple reason that it provides a criterion for conceptual development; namely, how one conception is more general than other.

Balacheff defines generality as follows:

C=(P, R, L, Σ) is more general than C’= (P’, R’, L’, Σ’) if there exists a function of representation ƒ: L’→L so that ∀p ∈P’, ƒ(p)∈P.

The examples of relative generality discussed in the paper work nicely according to this definition. Balacheff’s definition also worked well with many of the examples I tested. For some
cases, where P=P’, the definition may need further refinement. Consider the following example:

A 13-year-old girl, Tami, and an 8-year-old boy, Dan, were interviewed in pair.

Interviewer: One pound of candy cost $7. How much would 3 pounds of candy cost?
Tami: Three times seven, 21.
Dan: I agree, three times seven.
Interviewer: What if I changed the 3 into 0.31? What if the problem were: One pound of candy cost $7; how much would 0.31 of a pound cost?
Tami: The same. It is the same problem, you have just changed the number, 0.31 times 7.
Dan: No way! It isn’t the same. Can’t be [angrily]. It isn’t times. Why did you [speaking to the interviewer] agree with her?
Interviewer: I didn’t agree with her, I’m just listening to both of you. How would you solve the problem?
Dan: You take 1 and you divide by 0.31. You take that number, whatever that number is, and you divide 7 by that number.

Indeed:

On the one hand, the set of problems belonging to Tami’s conception is identical to set of problems belonging to Dan’s, and it seems that there is always a translation between the corresponding L and L’ satisfying Balacheff definition of generality. Hence, the two conceptions seem to be equivalent. On the other hand, intuitively, I want to attribute a greater generality to Tami’s conception, with all the great admiration I have for Dan’s conception.

In closing,

Three of Balacheff’s goals for introducing the cK¢ can be summarized as follows:

a. Make more efficient our own research.
b. Clarify concepts and their relationships.
c. Contribute to better understanding of learners’ understanding, so as to support decision making for teachers and learners.

It is against these goals that I chose the questions I have just presented.

Thank you