Situations pour l’apprentissage de la preuve en mathématiques : état de la recherche et questions ouvertes

Cours pour la 21ème école d’été de didactique des mathématiques

Les recherches sur la complexité épistémique, logique et discursive de l’apprentissage de la preuve ont suscité une abondante littérature au cours des deux dernières décades. Leurs résultats permettent une analyse plus fine des difficultés rencontrées par les élèves et de celles du travail des professeurs pour l’enseignement de la preuve en mathématiques. Ils confortent la conception de situations spécifiques, notamment les situations de validation au sens de la théorie des situations didactiques (TSD), dans lesquelles la preuve fonctionne comme outil de résolution de problèmes et créent les conditions de recevabilité d’une connaissance nouvelle. Cependant, subsiste la difficulté de saisir la preuve comme objet, pour en reconnaitre les spécificités mathématiques et l’institutionnaliser en tant que telle. C’est sur ce problème que portera l’exposé. Il complète les exposés du séminaire national de didactique des mathématiques (2019a) et du CORFEM (2019b).

La première partie de l’exposé sera consacrée à un état de la recherche internationale en reprenant de comptes-rendus de travaux relevant de différentes problématiques qui se distinguent par la façon dont le problème de l’enseignement de la preuve est posé et étudié.

La seconde partie de l’exposé proposera, dans le cadre de la TSD, une analyse de l’état actuel de la recherche.  La TSD est le cadre théorique de la modélisation des situations d’apprentissage dont l’objectif est de susciter et accompagner la genèse expérimentale de connaissances mathématiques déterminées, cependant que, plus généralement, ces situations « peuvent aider le professeur à faire vivre dans sa classe une véritable petite société mathématique. » (Brousseau, 1998, p. 112 - mes italiques). Les situations de validation jouent un rôle clé. Elles sont un moyen efficace pour la transformation de construits individuels en un objet de connaissance partagé qui pourra être reconnu collectivement et institutionnalisé par l’enseignant.e. La validité de cette connaissance est ainsi attestée, mais le plus souvent en laissant implicite les fondements de cette décision. L’accord est tacite. La preuve est un outil, elle n’est pas en elle-même l’enjeu de la situation—son objet. Cette possibilité limite la portée de ces situations pour l’apprentissage de la preuve. Pour lever cette hypothèque, il faut accéder au « schéma de validation explicite », le mettre en question, en reconnaitre les caractéristiques et les instituer ; alors la petite société de la classe peut prétendre être véritablement mathématique. Guy Brousseau utilise l’expression «situation de preuve » pour les situations de validation ayant ces caractéristiques, mais il ne développe pas la modélisation dans cette direction et n’y revient pas. Je reprendrai l’expression « situation de décision » qui désigne les situations de validation n’exigeant pas l’explicitation d’un schéma de validation explicite, elle facilitera l’identification des types de situations de validation et les caractéristiques qui les distinguent. 

La conclusion de l’exposé portera sur les questions ouvertes pour l’ingénierie de situations nécessaires à la genèse et la reconnaissance des normes de la preuve dans la classe de mathématique avant l’enseignement explicite de la démonstration.

Les données, un construit de la recherche

Texte préparé avec Nadine Mandran pour le weekend jeunes chercheurs 2020 (WEJCH2020)

Avertissement : ce résumé est un document de travail. Le choix est de proposer, avant le weekend jeunes chercheurs° en didactique des mathématiques, un cadre pour penser la question des données. Des exemples seront proposés repris d’un cas étudié par l’un des auteurs, des travaux des étudiants, ou d’articles publiés.
Les paragraphes ont été numérotés pour faciliter la référence dans des commentaires éventuels de ce billet de blog.

1. Nous nous plaçons dans le cas d’un projet—ou d’une thèse—dont le sujet est déterminé, sans ignorer la complexité et les exigences du choix d’une problématique en amont, ni le travail nécessaire à son expression. Ce qui suit décrit le cadre général de notre contribution dont l’essentiel est de mettre en perspective la notion de « donnée » dans nos recherches.

2. La didactique des mathématiques rassemble une diversité de problématiques parmi lesquelles nous retiendrons celle, séminale, de la recherche « des conditions spécifiques de l’acquisition provoquée des connaissances mathématiques » (Brousseau, 1994, p. 51). Il s’agit de produire des connaissances à finalité professionnelle sous les contraintes d’une réalité à la fois épistémique, sociale et humaine. Cette recherche est de nature expérimentale : les connaissances qu’elle produit doivent leur légitimité scientifique à une validation phénoménologique.

3. Le schéma commun de la communication d’une recherche, par exemple sous la forme d’un article ou d’une thèse, dans la problématique qui nous intéresse ici, comprend classiquement un cadre théorique, le problème (question ou hypothèse), l’état de l’art, la construction d’un dispositif d’observation et les conditions de sa mise en œuvre, les données et leur analyse. Tous ces éléments sont rassemblés et organisés au service de la validation d’un résultat, un terme que nous ne discuterons pas bien qu’il soit la source et le critère de l’intérêt porté à la notion de donnée.

Théorie, modèle, expérience

4. La prééminence du cadre théorique tient à ce qu’il détermine la formulation du sujet de la recherche en l’insérant dans un champ conceptuel, en reprenant le terme de Gérard Vergnaud, c’est-à-dire un espace de problèmes et de connaissances qui mobilise des représentations, des relations et des procédures organisées en un système explicite et cohérent. Le cadre théorique n’est que très exceptionnellement réduit à une théorie. Au contraire, il en articule plusieurs pour rendre compte de la complexité du sujet ou pour dépasser des limitations intrinsèques à une théorie particulière. Ainsi, théorie des situations didactiques, champ conceptuel, dialectique outil-objet, registres sémiotiques, et d’autres encore, pourront être associées pour saisir le sujet de la recherche et, en quelque sorte, le modéliser. La modélisation permet d’articuler les théories, elle est de plus l’outil pour les mettre en relation avec le référent phénoménal, la classe.

5. Le modèle instancie les concepts théoriques et leurs relations, il établit des liens entre théories. Le schéma des espaces de travail mathématique, proposé par Kuzniak, est un exemple de générateur de modèles qui articule les « plans épistémologique » et « cognitif », l’approche instrumentale et sémiotique. Un tel modèle est un outil pour créer une représentation décontextualisée, au sens de l’abstraction d’un problème ou d’une situation d’apprentissage, en les projetant dans les différents plans théoriques. La théorie des situations didactiques propose des moyens explicites de modélisation de situations qu’elle qualifie et relie.  

6. La construction d’un modèle est une tâche indissociable d’une recherche expérimentale. Cette construction est souvent implicite, sous-jacente à celle d’un schéma expérimental basé sur des « réalisations didactiques » en classe comme l’exprime la définition classique de l’ingénierie didactique ; ce faisant, elle prive la recherche à la fois d’une possibilité de résultat, le modèle, et de celle de la remise en question de l’un de ses éléments clés. L’explicitation du modèle permet de le détacher des circonstances contingentes de sa réalisation sous les contraintes d’une réalité dont la complexité dépasse la problématique didactique. Elle permet de lui faire jouer pleinement son rôle instrumental dans la recherche expérimentale et celui de médiateur avec le cadre théorique. 

7. L’instanciation du modèle dans une réalité scolaire, qu’il s’agisse de celle de l’institution elle-même ou d’un contexte aménagé—assimilable à des conditions de laboratoire, est la phase la plus fragile et délicate de la recherche. Il s’agit de l’expérience qui donne accès à l’observation et donc au recueil des données.  

8. L’autre enjeu du lien entre amont théorique et aval expérimental est la possibilité de poser précisément le problème de la réplicabilité de l’expérience et de la reproductibilité des observables. C’est l’enjeu fondateur et déontologique de toute recherche scientifique. 

Méthode, observation, données

9.  L'ingénierie didactique est la méthode canonique de la recherche pour la problématique dans laquelle nous nous plaçons. Comme le souligne Michèle Artigue (1996, p. 247), elle se caractérise par « la conception, la réalisation, l'observation et l'analyse de séquences d'enseignement ». Sans rejeter cette acception, nous suggérons de distinguer l’ingénierie didactique stricte qui produit un modèle et spécifie l’expérience (schéma expérimental) de l’observation, et donc du recueil de données sur lesquelles porte l’analyse. 

10. Le modèle produit par l’ingénierie didactique tire sa justification du cadre théorique dans lequel il est construit et de sa capacité à anticiper l’expérience—c’est-à-dire ce qui sera l’objet de l’observation—et donc détermine le recueil des observables en les désignant a priori ou a posteriori parmi tous les événements qui s’offre à l’attention de l’observateur. 

11. La spécification des observables et leur potentialité expérimentale est le rôle de l’analyse a priori. IL s’agit, d’une part de déterminer les comportements significatifs qui seront favorisés ou disqualifiés, et d’autre part d’identifier les caractéristiques du modèle qui leurs sont hypothétiquement associées. Pour cela, l’analyse a priori doit proposer des indicateurs tangibles—observables comportementaux, verbalisations, productions—qui sont les éléments focaux de l’observation.

Corpus, données, analyse

12. Ainsi les données sont-elles un construit de la recherche aux racines profondes. Leur identification dans le cours de l’observation et leur recueil est souvent difficile tant il est fragilisé par les effets de conditions de la réalisation effective—souvent qualifiées d’écologiques—de l’expérience. Cette réalisation en classe est soumise à des contraintes multiples qui peuvent en modifier les caractéristiques, le sens et les enjeux. La recherche dans le vif de la démarche expérimentale et l’enseignement dans la dynamique de sa mise en œuvre diffèrent en termes d’objectif et de responsabilité. Cette complexité requiert de documenter les étapes et les détails de d’organisation et d’en suivre précisément le déroulement afin de pouvoir examiner a posteriori la qualité de l’observation et des données ; nous parlerons de traçabilité des données. Il faut pour cela une procédure et un langage (Mandran, 2017, p. 21)  

13. La mise en œuvre de l’expérience mobilise des enseignants, des élèves, l’accord de l’institution scolaire et celui des parents le cas échéant. Les multiples problèmes rencontrés ont rarement une réponse simple. En fait, c’est très souvent sur la base du volontariat de proches ou le hasard d’opportunités heureuses que la classe est ouverte pour la recherche. Cette précarité fréquente est peu interrogée, elle pose la question du corpus et celle des limites que sa qualité impose à la pertinence et la qualité des données. 

14. L’analyse des données mobilise une part très importante des ressources d’un projet de recherche. À la distinction classique entre analyse qualitative et quantitative, il faut ajouter dans la problématique que nous avons retenue l’analyse a posteriori qui interroge les données à l’aune du modèle et de l’analyse a priori ; c’est cette dernière qui spécifie les observables recherchées lors de l’observation. Le modèle permet de remonter vers le problème et le cadre théorique qui donnent du sens au traitement des données ; c’est-à-dire qui constitue le produit de ce traitement en un résultat.

 Conseil aux jeunes chercheuses et chercheurs

15. La rédaction du premier article—ou celle de la thèse—est un moment initiatique de la vie du chercheur°. La décision de publier peut avoir des raisons multiples, nous ne retiendrons ici que celle d’ordre scientifique : l’existence d’un résultat. Comprendre ce qui constitue le résultat d’une recherche est probablement le plus difficile pour un jeune chercheur°, mais pas que pour lui ou elle…

16. Au fil des évaluations d’articles et des rapports de thèse, il est souvent constaté que la conclusion de la publication est souvent une synthèse de l’analyse des données. L’effort et la mobilisation des ressources pour les réunir et les traiter tend effectivement à les mettre en avant en perdant de vue les raisons même de la recherche. Décider et expliciter ce qui constitue le résultat, c’est identifier ce que la recherche a apporté aux connaissances, aux méthodes ou aux théories mobilisées dans la problématique choisie.

17. Le rôle de l’état de l’art est de préparer la démonstration de l’existence d’un résultat, et donc de la pertinence de la question et de la recherche. Il est important a priori pour s’engager dans la recherche, et essentiel a posteriori pour légitimer son produit.

18. La rédaction de la communication doit parcourir le chemin inverse de celui de la recherche en ne retenant que ce qui est nécessaire à la validation de son produit et sa constitution en résultat. Cette stratégie assure de ne pas perdre le lien avec le cadre théorique et le sujet de la recherche, elle préserve le sens des données et de leur analyse.

Artigue, M. (1996). Ingénierie didactique. In J. Brun (Éd.), Didactique des mathématiques (p. 243‑274). Delachau et Niestlé.

Brousseau, G. (1994). Perspectives pour la didactique des mathématiques. In M. Artigue, R. Gras, C. Laborde, & P. Tavignot (Éd.), Vingt ans de Didactique des mathématiques en France (p. 51‑66). La Pensée Sauvage.

Mandran, N. (2017). THEDRE : Langage et méthode de conduite de la recherche. Thèse, Université Grenoble Alpes.

Échec ? Célébrons ensemble le rebond !

Une conférence sur l'échec, ce n'est pas commun. Eh bien, tel est le thème de la FailCon dont le but est de "dédramatiser l’échec, d'échanger et d'apprendre des erreurs des autres, pour mieux réussir". A l'appel enthousiaste des organisateurs, "célébrons ensemble le rebond de l'entrepreneur !", les  participants sont invités à réfléchir sur l’échec sous des angles multiples et différents, "aussi bien dans la recherche que dans l’entrepreneuriat, mais aussi avec l’œil de l’investisseur ou encore le regard d’un arbitre international." 

Cette année, la FailCon Grenoble est dédiée à l'éducation. J'ai hésité à répondre à l'invitation, mais au fond c'est une bonne idée. Il n'est peut-être pas trop tard pour ce poser des questions après plusieurs décennies de recherche marquées par des échecs et quelques succès. Ces derniers font l'objet de publications, mais les premiers ont peu de place dans la biographie officielle. Pourtant ce sont ces échecs qui m'ont appris la complexité de mon domaine, la didactique des mathématiques et les EIAH, pluridisciplinaire par nature, dont le champ d'étude est sous les contraintes toujours en tension de l'institution scolaire et de l'institution universitaire, de la pratique de l'enseignement et de celle de la recherche. L'échec de l'un de mes projets m'a particulièrement marqué. Son thème et sa justification--mettre en place une place une plateforme d'enseignement à distance pour les enfants hospitalisés—m'obligeaient à réussir. C'était au milieu des années 90, les difficultés en ont eu raison à bas bruit. Quelles leçons, humaines et professionnelles, en tirer ?

La FailCon-Grenoble éàéà s'est tenue le 21 janvier dans les locaux de l'IAE sur le campus, retrouvez toutes les informations ici : FailCon Échec et éducation.

Quelques réflexions à propos du rapport Villani-Torossian

Pour répondre aux problèmes de l’enseignement des mathématiques qu’il décrit et analyse, le rapport Villani-Torossian est structuré par deux lignes de force : la formation des enseignants d’une part et d’autre part les relations entre enseignement et recherche, en tant que celle-ci doive éclairer celui-là.  On peut s’en réjouir, mais avec une réserve : la rédaction est manifestement sous-tendue par une conception de la recherche réduite aux sciences cognitives et à la psychologie, voire aux mathématiques. Ainsi la recherche en didactique des mathématiques parait-elle absente ; quoique certains perçoivent sa prise en compte lorsque le rapport évoque la recherche qui doit être conduite dans les classes et la capitalisation sur l’expérience des enseignants. Vieux chercheur en didactique des mathématiques, mon désir est fort de protester et de rappeler les décennies de développement d’une recherche académique internationale à laquelle nous participons activement et d’une façon reconnue. Mais cela serait vain, car on sera rapidement confronté à la question de savoir à quoi cela a servi, et en quoi l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques en ont bénéficié.  Il faudra alors remonter dans l’histoire. Rappeler, par exemple, la fragilisation des IREM, la mise à mal de la formation, la précarité récurrente de la recherche universitaire dans ce domaine. Ce ne serait que piètre défense, bien que tout cela ait miné tous nos efforts. La meilleure réponse me parait être ailleurs : dire les résultats de ces recherches, qu’elles aient été conduites dans des équipes universitaires ou dans les IREM, faire le bilan des connaissances rapidement utiles pour les enseignants, faire des propositions de formation initiale ou continue.

« Il semble nécessaire de proposer des enseignements de didactique en mathématiques, qui permettent l'appropriation des enjeux d'apprentissage des savoirs, leur reconnaissance dans les activités scolaires proposées aux élèves, la prise en compte des difficultés récurrentes et ce, dans les différentes facettes de l'exercice d’un futur métier » (p.45). Il faut, bien sûr, proposer de tels enseignements. Nous l’avons fait, nous savons le faire. Comme tout enseignement, les contenus de ces formations s’appuieront sur des connaissances explicites, validées par la recherche en didactique des mathématiques. Comme toute formation universitaire, c’est le lien entre formation et recherche qui garantit la qualité et la pertinence de ces enseignements ; il est indispensable que l’une et l’autre soient confortées.

La cinquième des principales mesures proposées par le rapport, « les étapes d’apprentissage­­­­ », et la sixième, « le cours », soulignent des thèmes sur lesquels nous pouvons faire rapidement des propositions concrètes de contenu et d’action.

La cinquième mesure énonce :

« Dès le plus jeune âge mettre en œuvre un apprentissage des mathématiques fondé sur la manipulation et l’expérimentation ; la verbalisation ; l’abstraction. »  

Cette mesure est en résonnance évidente avec les concepts et les modèles de la théorie des situations didactiques. La mise en œuvre d’un tel apprentissage appelle la conception et l’organisation dans la classe de situations adaptées et favorables. C’est à cela que répond la séquence classique – situation d’action, situation de communication, situation de validation – modélisée par la théorie des situations didactiques (et à quoi elle ne se réduit pas). Il est à ce sujet important de souligner que si ce séquencement est celui de l’apprentissage, il est à l’inverse du séquencement de la conception des situations : les connaissances dont l’apprentissage est visé déterminent les types de validation qui eux-mêmes requièrent des compétences langagières et des représentations. La situation d’action est la porte d’entrée dans le processus d’apprentissage en engageant des connaissances initialement disponibles qui évolueront, se modifieront ou seront rejetées et remplacées par les connaissances visées. L’enseignant est présent tout au long de ce parcours, il crée les conditions de l’engagement de l’élève, il l’accompagne en adaptant ses interventions et, au bout du chemin, il identifie, nomme, ce qui est appris. Dans ce cadre, on le comprend, l’erreur n’est pas une faute mais appartient de façon naturelle aux efforts d’exploration, aux tentatives de solution ; elle est constitutive de l’apprentissage (p.15). Enfin, de telles situations « sollicitent [la] créativité [des élèves], développent leur motivation, encouragent leur esprit d’autonomie et d’initiative » (p.58). L’ingénierie didactique rassemble les méthodes et les outils pour concevoir de telles situations et leurs séquencements en s’appuyant sur les modèles et les concepts de la théorie des situations. Elle répond pleinement à la volonté d’apporter à l’enseignant « [qui] ne se voit pas comme un technicien "exécutant" mais comme un professionnel » les connaissances pour le rendre « capable d’analyser sa propre pratique » (p.19). En adoptant l’ingénierie didactique comme approche structurante, la formation s’articulera sur « la pratique du métier, permettant ainsi aux enseignants de s’approprier des notions de didactique des mathématiques, de la maternelle au cycle 3 » (p.13).

La situation de validation est une étape, en quelque sorte, terminale du cheminement vers la notion mathématique qu’il faudra encore expliciter pour qu’elle prenne sa place dans le corpus enseigné, puis travailler pour se l’approprier pleinement. Elle est aussi le point de départ de la construction de l’enseignement. Cette centralité correspond à l’indispensable prise de conscience, par les élèves, du problème de la validité de ce qu’ils apprennent. Cette prise de conscience fonde la culture scientifique et citoyenne bien au-delà des mathématiques elles-mêmes. Elle est indispensable à la compréhension de ce que sont les mathématiques, le rapport est sur ce point très explicite : « la notion de preuve est au cœur de l’activité mathématique, quel que soit le niveau (de façon adaptée, cette assertion est valable de la maternelle à l’université) » (p.25).

Ainsi la sixième mesure énonce-t-elle :

« Rééquilibrer les séances d’enseignement de mathématiques : redonner leur place au cours structuré et à sa trace écrite ; à la notion de preuve ; aux apprentissages explicites. »

Il y a quelques décennies, il n’aurait été question que de la démonstration. L’accent mis ici sur la notion de preuve est significatif. Il permet notamment de vouloir sa présence dès le cycle 1 et d’envisager l’apprentissage dans la durée. L’apprentissage de la démonstration sera alors une étape particulière, préparée par la prise de conscience progressive de la nature et du rôle de la preuve, et l’acquisition de compétences de validation associées au fil du développement de la connaissance. La section 3.1.2 du rapport dédiée à « La preuve » (pp.25-26), par la variété des formulations, illustre toute la difficulté de cet enseignement : « démarche de justification argumentée », « formes d’argumentation propres aux mathématiques », « démonstration » ; la même difficulté se retrouve dans les programmes de 2016 (compétences mathématiques, raisonner). Argumentation, preuve, démonstration ne sont pas synonymes, ces termes renvoient à des productions dont les caractéristiques sont différentes, et sont le produit d’activités – argumenter, prouver, démontrer – qui n’ont ni la même nature, ni la même fonction dans les mathématiques et leur pratique collective, ni la même complexité conceptuelle et langagière. Depuis une trentaine d’années, la recherche en didactique des mathématiques a largement documenté ces questions et produit des résultats sur lesquels on peut s’appuyer. Il est remarquable que les recherches internationales dans ce domaine se soient si largement multipliées, avec la publication de très nombreux articles, livres et la tenue de conférences. La formation des enseignants sur l’enseignement de la preuve, dès les premières années, pourra ainsi s’appuyer sur un large corpus de résultats et d’exemples de situations de classes utilisées pour ces recherches.

La didactique des mathématiques est déjà une composante des enseignements dispensés par les ESPE. Cette formation s’appuie, chaque fois que cela est possible, sur des équipes de recherche. Le rapport montre pleinement son importance, il faut saisir cette opportunité. Certes, très malheureusement, le texte parait ignorer ces recherches et leurs liens forts et anciens avec la formation tant initiale que continue. Plutôt que d’exprimer des regrets et des protestations qui ne seront pas entendues, nous devons avancer, avancer encore, avancer mieux.

Une suggestion ? Créer une base de données constituée des ingénieries bases des dispositifs expérimentaux (projets, thèses, etc.) en les documentant de façon normalisée (objectif, script, bénéfices, limites, etc.).  Les utilisateurs, des enseignants mais pas seulement, pourront adapter ces propositions et documenter en retour. En complément des travaux théoriques, des exposés de concepts, méthodes et de la publication des résultats, une telle ressource approfondira encore le lien entre recherche et pratique. Je ne sous-estime ni la complexité, ni le risque que courent les transferts trop hâtifs de dispositifs expérimentaux vers la classe. Mais le défi vaut d’être relevé avec les formateurs et les enseignants.  Je pense que c’est un moyen de répondre assez directement et précisément au souhait formulé par le rapport Villani-Torossian : « La formation doit permettre aux enseignants de s’approprier des ressources avec toute la distance critique nécessaire, pour concevoir des situations d’enseignement riches. » (p.13).

Contrôle, preuve et démonstration. Trois régimes de la validation (2)

Mise à jour janvier 2020 :

Balacheff N. (2019) Contrôle, preuve et démonstration. Trois régimes de la validation. In: Pilet J., Vendeira C. (eds.) Actes du séminaire national de didactique des mathématiques 2018 (pp.423-456). Paris : ARDM et IREM de Paris - Université de Paris Diderot.

texte accessible en ligne [ici]

---

L'enregistrement de l'exposé au séminaire national ARDM de Didactique des mathématiques est disponible. Il suffit pour y accéder de cliquer sur l'image ci-dessous. Le résumé et le diaporama sont accessibles [ici].

Je répondrai aux questions éventuelles dans le fil de commentaires associé à ce billet.

Références utiles (prochainement complétées) :

Brousseau G. (2000) Que peut-on enseigner en mathématiques à l'école primaire et pourquoi ?  Repères IREM 7-10,  n° 38  Topiques éditions.
Duval R. (1992) Argumenter,démontrer, expliquer. Continuité ou rupture cognitive ? Petit X, 31 pp. 37-61.

DGESco (2008) Raisonnement et démonstration.  Ressources pour les classes de 6e, 5e, 4e, et 3e du collège. EduSCOL. Paris : Ministère de l’éducation nationale.

DGESco (2016) Raisonner. Ressources d'accompagnement du programme de mathématiques (cycle 4). Eduscol. Paris : Ministère de l’éducation nationale, de l’enseignement supérieur et de la recherche. 

Contrôle, preuve et démonstration. Trois régimes de la validation (1)

Raisonner est l'une des six compétences majeures du socle commun des mathématiques du cycle 4 (années 7, 8 et 9 du cursus français obligatoire). Elle inclut démontrer, c'est-à-dire « utiliser un raisonnement logique et des règles établies (propriétés, théorèmes, formules) pour parvenir à une conclusion » ainsi que « fonder et défendre ses jugements en s’appuyant sur des résultats établis et sur sa maîtrise de l’argumentation. » Démontrer c'est aussi « "donner à voir" les différentes étapes d’une preuve par la présentation, rédigée sous forme déductive, des liens logiques qui la sous-tendent. » des  (DGESco 2016 p.1)

Les mots preuve, démonstration, argumentation sont ainsi utilisés par les textes des programmes de mathématiques et leurs commentaires. Cet usage affirme le caractère central de la démonstration, « moyen mathématique d'accès à la vérité », dans l'apprentissage des mathématiques. Il atteste aussi la difficulté de son enseignement car « [pour] ne pas détourner de la résolution de problèmes les élèves ayant des difficultés à entrer dans les codes de rédaction d’une démonstration, il importe de valoriser les productions spontanées, écrites ou orales, issues des phases de recherche et d’expérimentation (calculs seuls, croquis destinés à comprendre l’exercice, idées de preuve, plan de preuve, etc.). » (DGESco 2016 p.4)

ARDM

J'ai choisi, pour répondre à l'invitation du séminaire national de didactique des mathématiques, d'interroger les avancées de la recherche sur l’apprentissage et l’enseignement de la démonstration et leur capacité à éclairer la mise en œuvre des programmes actuels. Je reviendrai, en introduction, sur le vocabulaire en insistant notamment sur les différents régimes de la validation dans l'activité de l'élève. Puis j'aborderai ces questions dans la problématique de la validation au sens de la théorie des situations didactiques. Les principaux thèmes seront l’articulation entre preuve et connaissance en évoquant brièvement le modèle ck¢, et la relation entre démonstration et argumentation. Une dernière partie portera sur les perspectives ouvertes par les technologies informatiques.

Séminaire national de didactique des mathématiques - ARDM
Paris, 18 novembre 2017 
 

Cliquer [ici] pour obtenir le programme du séminaire national de didactique des mathématiques. Paris, samedi 18 novembre 2017

Petit x, le centième numéro : une nouvelle impulsion

La revue Petit x est née en 1983 dans le sillage de Grand N. Ce « Journal pour les enseignants de mathématiques et de sciences physique du premier cycle de l’enseignement secondaire » avait l’ambition « d'être à la fois un moyen de formation continue et un outil pour la pratique quotidienne de la classe ». Pour réaliser cet objectif, il s'est attaché à réunir dans un même cadre éditorial des textes issus des laboratoires de recherche et des textes issus de la classe, assemblant pratiques et réflexions. Au fil des numéros cette politique s'est affirmée, la revue est devenue un espace pour une communication plus directe de la recherche vers l’enseignement. Sa qualité lui vaut d'avoir été retenue comme une « revue d’interface » par l’agence nationale pour la recherche (HCERES). Ainsi la revue Petit x est-elle devenue un support de publication respecté et recherché, notamment par les jeunes chercheurs. Cette évolution est clairement affirmée par le nouveau sous-titre qui apparait sur la couverture du centième numéro : « Revue de didactique des mathématiques – recherche sur l’enseignement et la formation ».   [lire le texte complet]

Corpus des termes de la recherche en didactique des mathématiques - V1

Une première version du corpus des termes et expressions de la recherche en didactique des mathématiques est maintenant disponible [ici]. Cette première version est essentiellement constitué du résultat d'une lecture de la revue Recherches en didactique des mathématiques. La prochaine étape (V2) a pour objectif de compléter ce corpus avec ce qui sera obtenu de la lecture de la collection associée.
Parallèlement, j'ajouterai les traductions que je relèverai dans des livres et revues, notamment Educational Studies in Mathematics ; je compte pour cela sur la collaboration 2.0 des collègues de la communauté internationale. Le projet est toujours, selon mes ressources et mon énergie, de réaliser une synthèse incluant une analyse de la genèse et des évolutions de notre domaine, incluant une perspective pluridisciplinaire et internationale.

cKȼ, origine, cadrage théorique, utilisations et questions (la vidéo)

Voir [ici] le résumé de la commande du laboratoire de didactique André Revuz (LDAR) à laquelle répond l'exposé que l'on pourra suivre en visionnant la vidéo ci-dessous, et [là] pour un résumé plus substantiel.

Enregistrement vidéo de l'exposé présenté au séminaire du laboratoire LDAR
Vendredi 10 avril 2015, 14h-17h

Pour comprendre la convergence uniforme, revenir aux sources

La convergence uniforme est un concept complexe qui exige la maitrise des concepts de fonction, de continuité, de limite mais aussi celui de variable. C’est ce que nous apprend au terme d’une enquête d’une grande rigueur dans un style très vivant le livre de Gilbert Arsac, « Cauchy, Abel, Seidel, Stokes et la convergence uniforme », paru récemment chez Hermann dont le sous-titre devrait susciter l’intérêt des chercheurs en didactique des mathématiques : « de la difficulté historique du raisonnement sur les limites ».

Le point de départ de l’étude est le cours d’analyse de Cauchy, de 1821, à l’École Royale Polytechnique, dans lequel il énonce que si une série de fonctions continues est convergente « dans le voisinage d’une valeur particulière » alors la somme de cette série est une fonction continue dans ce voisinage (Cauchy, 1821, pp. 131-132).

Avant d’analyser l’explication que Cauchy donne pour justifier ce théorème, Gilbert Arsac examine ce que sont pour les mathématiciens de l’époque les concepts de variable, de fonction, de limite et de continuité, puis, il propose au lecteur un premier exemple de sa méthode d’enquête sur le cas du théorème des valeurs intermédiaires énoncé, lui aussi, dans ce cours de 1821. En outre, très utilement, il dédie un court chapitre au rappel, pour le lecteur contemporain, de la problématique de la convergence uniforme.

      La méthode de Gilbert Arsac lui permet de limiter autant que possible les anachronismes, et donc les interprétations excessives, lors de son analyse dans laquelle il confronte le texte ancien aux écritures et critères de la mathématique contemporaine. On comprend ainsi comment d’une part la relégation au second plan du concept de fonction derrière celui de variable et, d’autre part, la référence aux caractéristiques graphiques des courbes associées aux fonctions continues sous-jacente à une conception cinétique de la continuité, ont pu constituer des obstacles importants à la découverte de la convergence uniforme. Finalement, c’est l’absence d’expression formelle de la continuité et de la convergence, définitions dites en (ε, η), et celle de la quantification qui jouent le premier rôle. Ce qui est en question ici n’est pas la rigueur, car les textes sont aussi rigoureux qu’ils puissent l’être avec les moyens de l’époque et la volonté de rigueur n’est pas moindre que celle d’aujourd’hui, mais la conceptualisation. L’analyse de Gilbert Arsac montre comment les limitations de la formalisation algébrique pèsent sur l’identification de la relation entre variable et fonction, la compréhension des dépendances introduites par l’ordre des quantificateurs universels et existentiels, la maîtrise de la négation d’un énoncé quantifié pour accéder à une caractérisation générale de la discontinuité.

      L’analyse, qui suit, des contributions d’Abel (1826), Seidel (1847) et  Stokes (1847) confirme les limitations que les outils disponibles imposent à la conceptualisation. Abel énonce une exception au théorème mais ne peut en donner de raisons. Seidel introduit la notion de « convergence lente » (notion voisine de la non convergence uniforme locale) pour expliquer la limite discontinue d’une série de fonctions continues mais est limité par la définition disponible de la continuité et de sa négation. Stokes (1847) étudie le problème d’inversion des limites et identifie la source de contre-exemples dans la condition de « convergence infiniment lente » mais dans un langage qui ne permet pas d’aller jusqu’à l’explicitation du concept moderne de convergence uniforme. Ce dernier cas est particulièrement intéressant en montrant le travail d’interprétation nécessaire et par là toute la distance entre ce que Gilbert Arsac appelle « l’outillage mathématique » de l’époque et les mathématiques contemporaines. L’enquête se clôt sur l’étude du texte de Cauchy de 1853 dans lequel il reconnait l’existence de contre-exemples au théorème énoncé en 1821.

      La méthode de Gilbert Arsac, maintenant familière pour le lecteur qui en a suivi la mise en œuvre sur d'autres textes, lui permet de construire fermement et rigoureusement les arguments pour établir que Cauchy est bien le découvreur du critère de convergence uniforme auquel l’histoire a attribué son nom. 

Un mot revient souvent dans le livre de Gilbert Arsac : interprétation. La conscience des limites de l’interprétation et la vigilance à ne pas solliciter les textes, tous reproduits dans l’ouvrage, est au cœur du travail d’analyse. Mais ce mot en cache un autre : modélisation. C’est en fait un travail de modélisation qui est réalisé en mettant en évidence la complexité et les limites de la compréhension des mathématiques de la première moitié du XIX° avec celle de la première moitié du XXI° siècle. Cette modélisation met en évidence l’interaction entre les outils langagiers, logiques et algébriques, et la façon dont les conceptions (compréhension) des notions en jeu contrôlent la construction des preuves qui ne peuvent, à l’époque, être réduites à un calcul algébrique ou logique. Gilbert Arsac évoque des formulations elliptiques ou des quantifications floues, son texte montre que ce sont des symptômes des limites des moyens disponibles et de la conceptualisation scientifique et non des limites des mathématiciens eux-mêmes.  Ainsi, au terme de la lecture, a-t-on moins l’impression d’en savoir plus sur l’histoire de l’analyse et de la convergence uniforme que de comprendre mieux ce concept difficile et techniquement subtil.

Gilbert Arsac (2009) "La démonstration, une logique en situation ?"
(cliquer sur l'image pour accéder à la vidéo)

cKȼ, origine, cadrage théorique, utilisations et questions

Merci au laboratoire de didactique André Revuz (LDAR) pour m'avoir donné l'occasion de préciser le modèle de connaissance cKȼ, sa place dans le paysage didactique et de donner des exemples de son utilisation. Le support l'exposé est maintenant disponible sur le site de Slideshare et ci-dessous :

cKȼ (pour conception, connaissance, concept) est un modèle construit pour formaliser une représentation du couple sujet/milieu dans le cadre de la théorie des situations didactiques. J'avais déjà eu l'occasion d'en présenter les objectifs et les principaux aspects lors d'un cours donné à l'école d'été de didactique des mathématiques en 2003. Le texte de ce cours rédigé avec le soutien actif de Claire Margolinas est maintenant disponible en ligne [ici].

Une première section de mon exposé rappelle l'usage pragmatique du mot "conception" en didactique des mathématiques et le sens que nous lui attribuons dans nos travaux [Artigue 1989]. Je fais ensuite quelques rappels sur la théorie des situations didactique avant de préciser la construction du modèle dont les premiers éléments sont repris de la formalisation de "concept" proposée par Gérard Vergnaud.
   Une première illustration, pour laquelle je reprends les diapositives d'un exposé à PME-NA en 2013 [voir], met en œuvre cKȼ pour caractériser des conceptions de l'addition (composante algorithmique) en mettant bien en évidence ce qui relève de la sphère de pratique, des opérateurs et des contrôles en lien étroit avec les représentations.
   L'illustration suivante est une relecture d'une ingénierie didactique utilisée dans le cadre de mes premiers travaux sur la preuve à propos de la somme des angles d'un triangle. On trouvera une présentation détaillée de cette ingénierie [ici]. Cet exemple permet de montrer comment cKȼ peut faciliter l'analyse a priori et la détermination du jeu sur les contraintes de la situation pour permettre l'évolution d'une conception vers une autre, cette dernière étant une modélisation de l'enjeu d'enseignement.
   Le modèle a été utilisé explicitement pour la première fois dans le cadre de la thèse de Salima Tahri au début des années 90. Il s'agissait d'étudier les décisions d'enseignants pour piloter un apprentissage en géométrie. Nous nous sommes appuyés sur cKȼ pour décrire les conceptions et l'espace de problèmes (construction du symétrique d'un segment, travaux de Denise Grenier), et construire un environnement dans lequel les enseignants devaient diagnostiquer l'état de connaissance des élèves et décider des feedback qui pourraient au mieux permettre leur évolution.
   J'ai ensuite présenté quelques aspects du projet Baghera qui, au début des années 2000, a été la première mise à l'épreuve du modèle sur l'un de ses objectifs : permettre le diagnostic de conceptions pour ensuite calculer des situations d'apprentissage pilotées par un dispositif informatique. On trouve une présentation détaillée de ce projet dans un rapport préparé par Sophie Soury-Lavergne dans le cadre d'un projet européen éponyme [voir]. Ce projet fortement pluridisciplinaire, associant didactique des mathématiques et informatique, et au sein de l'informatique démonstration automatique et systèmes multi-agents, n'a pas pu être poursuivi. Il a cependant montré un bon potentiel et a connu une suite avec la reprise des idées de Baghera à Barcelone par Josep Fortuny et Philippe Richard dans le cadre du projet AgentGeom.
   Je reviens ensuite vers une problématique plus classique de la didactique des mathématiques en citant le travail conduit par Vilma Mesa à Michigan qui a utilisé cKȼ pour analyser des manuels (premiers apprentissages de la notion de fonction). Ce travail de recherche, qui a conduit à une thèse [voir]. L'analyse de Vilma Mesa ne porte pas directement sur les conceptions mais sur celles que les problèmes posés par les manuels pourraient favoriser, il atteste de fait de la dualité conception/problème. Le modèle permet de caractériser les problèmes en termes de connaissance. Cette dualité conception/problème étaient induite par la formalisation et proposée dans le cours de 2003.
   La dernière section de l'exposé revient sur le travail sur l'argumentation et la preuve, pour montrer le caractère instrumental du modèle pour lier preuve et connaissance en s'appuyant sur l'analyse des contrôles. Cet aspect fait actuellement l'objet d'un travail avec Bettina Pedemonte qui propose de construire un cadre d'analyse de l'argumentation en didactique en associant le schéma de Toulmin et cKȼ.
   Je ne pouvais conclure sans évoquer la TAD et notamment les travaux de Marie-Caroline Croset et Hamid Chaachoua pour apporter dans ce cadre une réponse au problème de la modélisation de l'apprenant. Ce problème n'est pas posé de façon naturelle par la TAD et peut même paraître hors sujet si l'on se souvient des principes qui guident l'approche anthropologique du didactique. Il s'impose cependant de façon "pratique" pour lier rapport institutionnel et rapport personnel de façon opérationnelle. Le concept de praxéologie personnelle (initialement praxis-en-acte chez Croset 2010)  peut être une solution, sa relation avec le modèle cKȼ vaut d'être examinée (comme celle de la TSD avec la TAD). Mais ce travail reste à faire.

cKȼ, un modèle de connaissance : spécificité et utilisations

Le laboratoire de didactique André Revuz (LDAR) m'a invité dans le cadre de son séminaire avec un objectif très précis : expliquer les spécificités du modèle de connaissance cKȼ dans le paysage didactique et donner des exemples de son utilisation.  Le résumé de présentation de ce séminaire est tout simplement l'explicitation de cette demande :

"Plusieurs approches théoriques de la connaissance sont mises en oeuvre au sein du laboratoire LDAR, dont des modèles de conceptions, mais les discussions ou exposés à propos de cKȼ soulignent deux difficultés : comprendre les articulations entre cKȼ et les autres approches théoriques, et comprendre ce qu'apporte son utilisation --- en d'autres termes, la question qui se pose est celle de ce qu'on peut attendre de ce modèle en temps que chercheurs. Ces questions semblent plus fortes que des problèmes liés à la technicité du modèle, à proprement parler. Il peut donc être intéressant, et c'est ce que va être tenté, de préciser les hypothèses aux fondements de cKȼ (quel sujet est concerné, quelles hypothèses sur la connaissance...), ses finalités, ainsi que des usages dans différentes directions, permettant de voir son utilisation "en situation" et de cerner ses apports."

L'exposé en cours de préparation comprendra trois parties : (1) la problématique du modèle cKȼ dans le cadre de la théorie des situations didactiques, (2) les hypothèses sous-jacentes à la construction du modèle, (3) la situation du modèle par rapport à d'autres modèles ou théories incluant les problématiques de modélisation de l'apprenant en informatique, (4) une discussion du modèle y compris celle des apports qui pourraient être portés à son crédit.

Le séminaire aura lieu le Vendredi 10 avril 2015, 14h-17h Salle 247E, 2e étage - bât. Halle aux Farines, Paris 13e

Le contenu de l'exposé est pour une part bien décrit dans : Balacheff N., Margolinas C. (2005) cK¢ Modèle des connaissance pour le calcul de situation didactiques. In : Mercier A. & Margolinas C. (eds.) Balises pour la didactique des mathématiques. (pp.1-32). Grenoble : La Pensée Sauvage.