The transition from mathematical argumentation to mathematical proof, a learning and teaching challenge

Due to the development of the DOVID-19 pandemic, ICME-14 has been postponed by one year, probably until next summer 2021. Indeed, no body knows what the future will be like. So, I chose to share there the abstract of my lecture. Be life kind enough to allow me to attend ICME-14 whenever, wherever. 

Comments and questions on this post will be much appreciated. They will contribute to my reflexion which continues on the mathematical status of argumentation.

Mathematical proof is the backbone of mathematics as a scientific discipline. All along the 20th century, the meagre success of its teaching prompted most of the decision makers to postpone it until children have achieved a certain cognitive development. Research outcomes of the last decades suggest that the teaching challenge can be overcome, hence the nowadays wide consensus that mathematical proof ought to be part of curricula at whatever grade from kindergarten to university. To properly express this objective requires finding an adequate characterization of proof and the right words while one has been accustomed to using several different ones as mere synonymous.

First, I suggest to slightly change the didactical problem from learning proof to understanding how can be asserted the truth value of a statement in mathematics at different grades. This requires to tighten the links between problem-solving and proving, as well as between knowing and proving. I develop this position focusing on three terms: control, argumentation and proof. The choice of these terms intends to denote three regimes of validation whose respective weights change along the continuum from solving a problem to communicating its solution according to the mathematics standards in force at a given grade. 

Second, I shall shape the relations between argumentation and proof from an epistemological and didactical perspective. Doing this, I will pay attention to our linguistic, cultural and epistemological differences.

Although the historical roots of mathematical proof could give it legitimacy, the concept of mathematical argumentation will be a didactic concept and not the transposition of a mathematical one. The inherent social nature of argumentation would otherwise make a lasting impact on the understanding of mathematical proof. Although being the product of a human activity which certification is the outcome of a social process, a mathematical proof is independent of a particular person or group. The standardization of proof in mathematics, in addition to the institutional character of its theoretical reference, entails its depersonalization, decontextualization and atemporality. While argumentation is intrinsically dependent on an agent, individual or collective, and is “situated”.

Eventually, the characteristics of mathematical argumentation must not only distinguish it from other types of argumentation in order to manage its evolution to mathematical norms, but it must also be operational when it comes to arbitrating students' proposals in order to organize and capitalize on them in the classroom knowledge base. How, for example, can be arbitrated the case of the generic example that balances the general and the particular; a balance found at the end of a contradictory debate seeking an agreement which should be as little as possible a compromise?

笔译

Mathematical argumentation as a precursor of mathematical proof

I am delighted to discuss research on mathematical proof soon with Andreas Stylianides and the Cambridge Mathematics Education team.

Here is the seminar abstract:
Along history or across educational traditions, the space given to mathematical proof in compulsory school curricula varies from a quasi-absence to a formal obligation which for some has turned into an obstacle to mathematics learning. The contemporary evolution is to give to proof the space it deserves in the learning of mathematics. This is for example witnessed in different ways by The national curriculum in England (2014), the Common Core State Standards for Mathematics (2010) in the US or the recent Report on the teaching of mathematics (1918) commissioned by the French government; the latter asserts: The notion of proof is at the heart of mathematical activity, whatever the level (this assertion is valid from kindergarten to university). And, beyond mathematical theory, understanding what is a reasoned justification approach based on logic is an important aspect of citizen training. The seeds of this fundamentally mathematical approach are sown in the early grades. These are a few examples of the current worldwide consensus on the centrality proof should have in the compulsory school curricula. However, the institutional statements share difficulty to express this objective. The vocabulary includes words such as argument, justification and proof without clear reasons for such diversity: are these words mere synonymous or are there differences that we should pay attention to? What are the characteristics of the discourse these words may refer to in the mathematics classroom? Eventually, how can be addressed the problem of assessing the truth value of a mathematical statement at the different grades all along compulsory school? I shall explore these questions, starting from questioning the meaning of these words and its consequences. Then, I shall shape the relations between argumentation and proof from an epistemological and didactical perspective. In the end, the participants will be invited to a discussion on the benefit and relevance of shaping the notion of mathematical argumentation as a precursor of mathematical proof.

Monday 18th November 2019, 2.30-4.00pm
Faculty of Education, Donald McIntyre Building (room GS4)

Échec ? Célébrons ensemble le rebond !

Une conférence sur l'échec, ce n'est pas commun. Eh bien, tel est le thème de la FailCon dont le but est de "dédramatiser l’échec, d'échanger et d'apprendre des erreurs des autres, pour mieux réussir". A l'appel enthousiaste des organisateurs, "célébrons ensemble le rebond de l'entrepreneur !", les  participants sont invités à réfléchir sur l’échec sous des angles multiples et différents, "aussi bien dans la recherche que dans l’entrepreneuriat, mais aussi avec l’œil de l’investisseur ou encore le regard d’un arbitre international." 

Cette année, la FailCon Grenoble est dédiée à l'éducation. J'ai hésité à répondre à l'invitation, mais au fond c'est une bonne idée. Il n'est peut-être pas trop tard pour ce poser des questions après plusieurs décennies de recherche marquées par des échecs et quelques succès. Ces derniers font l'objet de publications, mais les premiers ont peu de place dans la biographie officielle. Pourtant ce sont ces échecs qui m'ont appris la complexité de mon domaine, la didactique des mathématiques et les EIAH, pluridisciplinaire par nature, dont le champ d'étude est sous les contraintes toujours en tension de l'institution scolaire et de l'institution universitaire, de la pratique de l'enseignement et de celle de la recherche. L'échec de l'un de mes projets m'a particulièrement marqué. Son thème et sa justification--mettre en place une place une plateforme d'enseignement à distance pour les enfants hospitalisés—m'obligeaient à réussir. C'était au milieu des années 90, les difficultés en ont eu raison à bas bruit. Quelles leçons, humaines et professionnelles, en tirer ?

La FailCon-Grenoble éàéà s'est tenue le 21 janvier dans les locaux de l'IAE sur le campus, retrouvez toutes les informations ici : FailCon Échec et éducation.

Rosamund, a European researcher

On November the 16th, the Mathematics Education community will gather in Bristol to pay tribute to Rosamund Sutherland and to celebrate her life and academic work. Among many friends and colleagues, I will contribute by witnessing her outstanding contribution to the building of a European Mathematics Education and Technology Enhanced Learning Research community.  A distinctive sign of Rosamund's scientific commitment was to overcome the barriers and boundaries between cultures, whether theoretical, professional or epistemological, in search of tolerance and inclusiveness beyond the necessary rigour of our work.

"My approach is to respect the perspective of others, whilst at the same time pushing different approaches. Is this what interdisciplinary work means?" (email 15/12/2009)

Program of the day and (required) free registration [here] 

L'argumentation mathématique, précurseur problématique de la démonstration

Le colloque CORFEM 2019 a choisi pour l'un de ses thèmes : Raisonner, prouver, démontrer ... en classe et en formation.

Je contribuerai à la réflexion commune en interrogeant les termes argumenter, prouver, démontrer tels qu'ils sont utilisés par les programmes des cycles 2 à 4, et par les documents d'accompagnement. Je préciserai leurs relations et celles qu'ils entretiennent avec "raisonner" à la lumière des travaux de recherche sur l'apprentissage de la preuve en mathématiques. La seconde partie fera le point, prenant en compte les contributions internationales, sur les problèmes posés par le passage des preuves empiriques aux preuves intellectuelles ne mathématique, en mettant l'accent sur le cas de l'exemple générique. L'exposé conclura sur la création et la gestion des interactions sociales qui contextualisent l'argumentation et constituent le principal défi pour l'enseignant ; un défi auquel doit préparer la formation.

XXVIe Colloque CORFEM
Mardi 11 et mercredi 12 Juin 2019
Université de Strasbourg

L'argumentation mathématique, un concept nécessaire

L'argumentation mathématique, un concept nécessaire pour penser l’apprentissage de la démonstration

Les sciences du langage, notamment l’analyse du discours et la logique naturelle, ont eu une influence prépondérante sur les premières recherches sur l’apprentissage de la démonstration qui ont insisté sur les oppositions entre argumentation et démonstration. Ces oppositions sont mises en avant comme l’une des principales difficultés—avec le développement cognitif—de la réalisation du projet d’enseignement. Au cours des deux dernières décades, les travaux se sont multipliés pour confirmer cette difficulté mais en la nuançant soit en montrant la possibilité d’une continuité, notamment dans le cours de la résolution d’un problème, soit en soutenant la possibilité d’une légitimité mathématique de l’argumentation. Ainsi l’argumentation se constitue-t-elle en obstacle épistémologique à l’apprentissage de la démonstration, au sens où elle est à la fois ce contre quoi il se construit et ce avec quoi il avance. De plus, l’attention portée à l’argumentation dans la résolution de problèmes a conduit à dépasser les approches purement heuristiques et mis en évidence le lien étroit entre le développement de la rationalité et celui des connaissances mathématiques depuis les niveaux les plus élémentaires. L’exposé portera essentiellement sur ces évolutions de la recherche, et les propositions de concepts tels qu’argumentation heuristique (Raymond Duval) ou explication ontique (Gila Hanna). Il conclura sur le besoin de forger le concept d’argumentation mathématique pour penser l’apprentissage de la démonstration.

7e Journées Épistémologie Montpellier
« L’argumentation : une pratique multiforme ? »
Mercredi 22 et jeudi 23 mai 2019
salle SC-10.01 à la Faculté des Sciences

Séminaires DEMa, Montpellier, quelques question sur le modèle cKȼ

Une visite à l'équipe montpelliéraine de Didactique et Épistémologie des Mathématiques (DEMa) sera l'occasion, le 21 mai, d'un séminaire sur le modèle cKȼ pour répondre à quelques questions notamment sur les structures de contrôles, la notion de µ-objet et celle de théorème au sens de Mariotti.

L'exposé comprendra trois parties : (1) la problématique du modèle cKȼ dans le cadre de la théorie des situations didactiques et de la théorie des champs conceptuels, (2) la caractérisation des conception en insistant sur la notion de contrôle et la notion de µ-objet, (3) son potentiel pour analyser la complexité épistémique des mathématiques en revenant notamment sur la notion d’unité cognitive  dans la résolution de problème proposée par Garuti, Boero et Lemut, et la caractérisation de théorème par Mariotti.